Интеграл 1/(y*(2+y)) (dx)

Вы ввели

  1             
  /             
 |              
 |      1       
 |  --------- dy
 |  y*(2 + y)   
 |              
/               
0               

$$\int_{0}^{1} \frac{1}{y \left(y + 2\right)}\, dy$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{1}{y \left(y + 2\right)} = - \frac{1}{2 y + 4} + \frac{1}{2 y}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int - \frac{1}{2 y + 4}\, dy = - \frac{1}{2} \int \frac{1}{y + 2}\, dy$

         1. пусть $u = y + 2$.

            Тогда пусть $du = dy$ и подставим $du$:

            $\int \frac{1}{u}\, du$

            1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\log{\left (y + 2 \right )}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{1}{2} \log{\left (y + 2 \right )}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{1}{2 y}\, dy = \frac{1}{2} \int \frac{1}{y}\, dy$

         1. Интеграл $\frac{1}{y}$ есть $\log{\left (y \right )}$.

         Таким образом, результат будет: $\frac{1}{2} \log{\left (y \right )}$

      Результат есть: $\frac{1}{2} \log{\left (y \right )} - \frac{1}{2} \log{\left (y + 2 \right )}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{1}{y \left(y + 2\right)} = \frac{1}{y^{2} + 2 y}$

   2. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{1}{y^{2} + 2 y} = - \frac{1}{2 y + 4} + \frac{1}{2 y}$

   3. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int - \frac{1}{2 y + 4}\, dy = - \frac{1}{2} \int \frac{1}{y + 2}\, dy$

         1. пусть $u = y + 2$.

            Тогда пусть $du = dy$ и подставим $du$:

            $\int \frac{1}{u}\, du$

            1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\log{\left (y + 2 \right )}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{1}{2} \log{\left (y + 2 \right )}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{1}{2 y}\, dy = \frac{1}{2} \int \frac{1}{y}\, dy$

         1. Интеграл $\frac{1}{y}$ есть $\log{\left (y \right )}$.

         Таким образом, результат будет: $\frac{1}{2} \log{\left (y \right )}$

      Результат есть: $\frac{1}{2} \log{\left (y \right )} - \frac{1}{2} \log{\left (y + 2 \right )}$

2. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{1}{2} \log{\left (y \right )} - \frac{1}{2} \log{\left (y + 2 \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{1}{2} \log{\left (y \right )} - \frac{1}{2} \log{\left (y + 2 \right )}+ \mathrm{constant}$

Численный ответ

21.8424905129424