Интеграл 1/(y^2+1) (dx)

Вы ввели

  1          
  /          
 |           
 |    1      
 |  ------ dy
 |   2       
 |  y  + 1   
 |           
/            
0            

$$\int_{0}^{1} \frac{1}{y^{2} + 1}\, dy$$

Подробное решение

Дан интеграл:

  /         
 |          
 |   1      
 | ------ dy
 |  2       
 | y  + 1   
 |          
/           

Перепишем подинтегральную функцию

  1          1    
------ = ---------
 2           2    
y  + 1   (-y)  + 1

или

  /           
 |            
 |   1        
 | ------ dy  
 |  2        =
 | y  + 1     
 |            
/             
  

  /            
 |             
 |     1       
 | --------- dy
 |     2       
 | (-y)  + 1   
 |             
/              

В интеграле

  /            
 |             
 |     1       
 | --------- dy
 |     2       
 | (-y)  + 1   
 |             
/              

сделаем замену

v = -y

тогда

интеграл =

  /                   
 |                    
 |   1                
 | ------ dv = atan(v)
 |      2             
 | 1 + v              
 |                    
/                     

делаем обратную замену

  /                      
 |                       
 |     1                 
 | --------- dy = atan(y)
 |     2                 
 | (-y)  + 1             
 |                       
/                        

Решением будет:

C + atan(y)

Ответ

  1               
  /               
 |                
 |    1         pi
 |  ------ dy = --
 |   2          4 
 |  y  + 1        
 |                
/                 
0                 

$${{\pi}\over{4}}$$

Численный ответ

0.785398163397448