Интеграл 1/(x+y)^2 (dx)

Вы ввели

  1            
  /            
 |             
 |     1       
 |  -------- dx
 |         2   
 |  (x + y)    
 |             
/              
0              

$$\int_{0}^{1} \frac{1}{\left(x + y\right)^{2}}\, dx$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{1}{\left(x + y\right)^{2}} = \frac{1}{\left(x + y\right)^{2}}$

   2. пусть $u = x + y$.

      Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

      $\int \frac{1}{u^{2}}\, du$

      1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

         $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $- \frac{1}{x + y}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{1}{\left(x + y\right)^{2}} = \frac{1}{x^{2} + 2 x y + y^{2}}$

   2. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{1}{x^{2} + 2 x y + y^{2}} = \frac{1}{\left(x + y\right)^{2}}$

   3. пусть $u = x + y$.

      Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

      $\int \frac{1}{u^{2}}\, du$

      1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

         $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $- \frac{1}{x + y}$

2. Добавляем постоянную интегрирования:

   $- \frac{1}{x + y}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$- \frac{1}{x + y}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                        
  /                        
 |                         
 |     1          1     1  
 |  -------- dx = - - -----
 |         2      y   1 + y
 |  (x + y)                
 |                         
/                          
0                          

$$\int_{0}^{1} \frac{1}{\left(x + y\right)^{2}}\, dx = - \frac{1}{y + 1} + \frac{1}{y}$$

Ответ (Неопределённый)

  /                       
 |                        
 |    1                1  
 | -------- dx = C - -----
 |        2          x + y
 | (x + y)                
 |                        
/                         

$$-{{1}\over{y+x}}$$