Решение интегралов/ Определённый интеграл

Интеграл 1/(x+y)^2 (dx)

Преподаватель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

∫d
Примеры

↑ Введите нижнюю границу интеграла и верхнюю границу интеграла b, подинтегральную функцию f(x) - смотрите пример

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

    Решение

    Вы ввели [src]
      1            
  /            
 |             
 |     1       
 |  -------- dx
 |         2   
 |  (x + y)    
 |             
/              
0
    ∫011(x+y)2 dx\int_{0}^{1} \frac{1}{\left(x + y\right)^{2}}\, dx
    Подробное решение

    1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

      Метод #1

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

        1(x+y)2=1(x+y)2\frac{1}{\left(x + y\right)^{2}} = \frac{1}{\left(x + y\right)^{2}}

      2. пусть u=x+yu = x + y.

        Тогда пусть du=dxdu = dx и подставим dudu:

        ∫1u2 du\int \frac{1}{u^{2}}\, du

        1. Интеграл unu^{n} есть un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1}:

          ∫1u2 du=−1u\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}

        Если сейчас заменить uu ещё в:

        −1x+y- \frac{1}{x + y}

      Метод #2

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

        1(x+y)2=1x2+2xy+y2\frac{1}{\left(x + y\right)^{2}} = \frac{1}{x^{2} + 2 x y + y^{2}}

      2. Перепишите подынтегральное выражение:

        1x2+2xy+y2=1(x+y)2\frac{1}{x^{2} + 2 x y + y^{2}} = \frac{1}{\left(x + y\right)^{2}}

      3. пусть u=x+yu = x + y.

        Тогда пусть du=dxdu = dx и подставим dudu:

        ∫1u2 du\int \frac{1}{u^{2}}\, du

        1. Интеграл unu^{n} есть un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1}:

          ∫1u2 du=−1u\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}

        Если сейчас заменить uu ещё в:

        −1x+y- \frac{1}{x + y}

    2. Добавляем постоянную интегрирования:

      −1x+y+constant- \frac{1}{x + y}+ \mathrm{constant}

    Ответ:

    −1x+y+constant- \frac{1}{x + y}+ \mathrm{constant}

    Ответ [src]
      1                        
  /                        
 |                         
 |     1          1     1  
 |  -------- dx = - - -----
 |         2      y   1 + y
 |  (x + y)                
 |                         
/                          
0
    ∫011(x+y)2 dx=−1y+1+1y\int_{0}^{1} \frac{1}{\left(x + y\right)^{2}}\, dx = - \frac{1}{y + 1} + \frac{1}{y}
    Ответ (Неопределённый) [src]
      /                       
 |                        
 |    1                1  
 | -------- dx = C - -----
 |        2          x + y
 | (x + y)                
 |                        
/
    −1y+x-{{1}\over{y+x}}
    Упростить