Интеграл 1/(x*(b-x)) (dx)

Вы ввели

  1             
  /             
 |              
 |      1       
 |  --------- dx
 |  x*(b - x)   
 |              
/               
0               

$$\int_{0}^{1} \frac{1}{x \left(b - x\right)}\, dx$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{1}{x \left(b - x\right)} = - \frac{1}{b \left(- b + x\right)} + \frac{1}{b x}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int - \frac{1}{b \left(- b + x\right)}\, dx = - \frac{1}{b} \int \frac{1}{- b + x}\, dx$

         1. пусть $u = - b + x$.

            Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

            $\int \frac{1}{u}\, du$

            1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\log{\left (- b + x \right )}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{1}{b} \log{\left (- b + x \right )}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{1}{b x}\, dx = \frac{1}{b} \int \frac{1}{x}\, dx$

         1. Интеграл $\frac{1}{x}$ есть $\log{\left (x \right )}$.

         Таким образом, результат будет: $\frac{1}{b} \log{\left (x \right )}$

      Результат есть: $\frac{1}{b} \log{\left (x \right )} - \frac{1}{b} \log{\left (- b + x \right )}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{1}{x \left(b - x\right)} = \frac{1}{b x - x^{2}}$

   2. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{1}{b x - x^{2}} = - \frac{1}{b \left(- b + x\right)} + \frac{1}{b x}$

   3. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int - \frac{1}{b \left(- b + x\right)}\, dx = - \frac{1}{b} \int \frac{1}{- b + x}\, dx$

         1. пусть $u = - b + x$.

            Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

            $\int \frac{1}{u}\, du$

            1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\log{\left (- b + x \right )}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{1}{b} \log{\left (- b + x \right )}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{1}{b x}\, dx = \frac{1}{b} \int \frac{1}{x}\, dx$

         1. Интеграл $\frac{1}{x}$ есть $\log{\left (x \right )}$.

         Таким образом, результат будет: $\frac{1}{b} \log{\left (x \right )}$

      Результат есть: $\frac{1}{b} \log{\left (x \right )} - \frac{1}{b} \log{\left (- b + x \right )}$

2. Теперь упростить:

   $\frac{1}{b} \left(\log{\left (x \right )} - \log{\left (- b + x \right )}\right)$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{1}{b} \left(\log{\left (x \right )} - \log{\left (- b + x \right )}\right)+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{1}{b} \left(\log{\left (x \right )} - \log{\left (- b + x \right )}\right)+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                                       
  /                                       
 |                                        
 |      1                 /1\   log(1 - b)
 |  --------- dx = oo*sign|-| - ----------
 |  x*(b - x)             \b/       b     
 |                                        
/                                         
0                                         

$$\int_{0}^{1} \frac{1}{x \left(b - x\right)}\, dx = \infty \operatorname{sign}{\left (\frac{1}{b} \right )} - \frac{1}{b} \log{\left (- b + 1 \right )}$$

Ответ (Неопределённый)

  /                                      
 |                                       
 |     1              log(x)   log(x - b)
 | --------- dx = C + ------ - ----------
 | x*(b - x)            b          b     
 |                                       
/                                        

$${{\log x}\over{b}}-{{\log \left(x-b\right)}\over{b}}$$