Интеграл 1/(x^4-16) (dx)

Вы ввели

  1           
  /           
 |            
 |     1      
 |  ------- dx
 |   4        
 |  x  - 16   
 |            
/             
0             

$$\int_{0}^{1} \frac{1}{x^{4} - 16}\, dx$$

Подробное решение

1. Перепишите подынтегральное выражение:

   $\frac{1}{x^{4} - 16} = - \frac{1}{8 x^{2} + 32} - \frac{1}{32 x + 64} + \frac{1}{32 x - 64}$

2. Интегрируем почленно:

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int - \frac{1}{8 x^{2} + 32}\, dx = - \frac{1}{8} \int \frac{1}{x^{2} + 4}\, dx$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{1}{x^{2} + 4}\, dx = \frac{1}{4} \int \frac{1}{\frac{x^{2}}{4} + 1}\, dx$

         1. пусть $u = \frac{x}{2}$.

            Тогда пусть $du = \frac{dx}{2}$ и подставим $2 du$:

            $\int \frac{2}{u^{2} + 1}\, du$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \frac{2}{u^{2} + 1}\, dx = 2 \int \frac{1}{u^{2} + 1}\, dx$

               1. Интеграл $\frac{1}{u^{2} + 1}$ есть $\operatorname{atan}{\left (u \right )}$.

               Таким образом, результат будет: $2 \operatorname{atan}{\left (u \right )}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $2 \operatorname{atan}{\left (\frac{x}{2} \right )}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{1}{2} \operatorname{atan}{\left (\frac{x}{2} \right )}$

      Таким образом, результат будет: $- \frac{1}{16} \operatorname{atan}{\left (\frac{x}{2} \right )}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int - \frac{1}{32 x + 64}\, dx = - \frac{1}{32} \int \frac{1}{x + 2}\, dx$

      1. пусть $u = x + 2$.

         Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

         $\int \frac{1}{u}\, du$

         1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\log{\left (x + 2 \right )}$

      Таким образом, результат будет: $- \frac{1}{32} \log{\left (x + 2 \right )}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int \frac{1}{32 x - 64}\, dx = \frac{1}{32} \int \frac{1}{x - 2}\, dx$

      1. пусть $u = x - 2$.

         Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

         $\int \frac{1}{u}\, du$

         1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\log{\left (x - 2 \right )}$

      Таким образом, результат будет: $\frac{1}{32} \log{\left (x - 2 \right )}$

   Результат есть: $\frac{1}{32} \log{\left (x - 2 \right )} - \frac{1}{32} \log{\left (x + 2 \right )} - \frac{1}{16} \operatorname{atan}{\left (\frac{x}{2} \right )}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{1}{32} \log{\left (x - 2 \right )} - \frac{1}{32} \log{\left (x + 2 \right )} - \frac{1}{16} \operatorname{atan}{\left (\frac{x}{2} \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{1}{32} \log{\left (x - 2 \right )} - \frac{1}{32} \log{\left (x + 2 \right )} - \frac{1}{16} \operatorname{atan}{\left (\frac{x}{2} \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                                  
  /                                  
 |                                   
 |     1           atan(1/2)   log(3)
 |  ------- dx = - --------- - ------
 |   4                 16        32  
 |  x  - 16                          
 |                                   
/                                    
0                                    

$$-{{\log 3+2\,\arctan \left({{1}\over{2}}\right)}\over{32}}$$

Численный ответ

-0.0633096095834288

Ответ (Неопределённый)

  /                     /x\                           
 |                  atan|-|                           
 |    1                 \2/   log(2 + x)   log(-2 + x)
 | ------- dx = C - ------- - ---------- + -----------
 |  4                  16         32            32    
 | x  - 16                                            
 |                                                    
/                                                     

$$-{{\log \left(x+2\right)}\over{32}}-{{\arctan \left({{x}\over{2}} \right)}\over{16}}+{{\log \left(x-2\right)}\over{32}}$$