Интеграл 1/((x^3)+8) (dx)

Вы ввели

  1          
  /          
 |           
 |    1      
 |  ------ dx
 |   3       
 |  x  + 8   
 |           
/            
0            

$$\int_{0}^{1} \frac{1}{x^{3} + 8}\, dx$$

Подробное решение

1. Перепишите подынтегральное выражение:

   $\frac{1}{x^{3} + 8} = - \frac{x - 4}{12 x^{2} - 24 x + 48} + \frac{1}{12 x + 24}$

2. Интегрируем почленно:

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int - \frac{x - 4}{12 x^{2} - 24 x + 48}\, dx = - \frac{1}{12} \int \frac{x - 4}{x^{2} - 2 x + 4}\, dx$

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

         $\frac{x - 4}{x^{2} - 2 x + 4} = \frac{x}{x^{2} - 2 x + 4} - \frac{4}{x^{2} - 2 x + 4}$

      2. Интегрируем почленно:

         1. Не могу найти шаги в поиске этот интеграла.

            Но интеграл

            $\frac{1}{2} \log{\left (x^{2} - 2 x + 4 \right )} + \frac{\sqrt{3}}{3} \operatorname{atan}{\left (\frac{\sqrt{3} x}{3} - \frac{\sqrt{3}}{3} \right )}$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int - \frac{4}{x^{2} - 2 x + 4}\, dx = - 4 \int \frac{1}{x^{2} - 2 x + 4}\, dx$

            1. Не могу найти шаги в поиске этот интеграла.

               Но интеграл

               $\frac{\sqrt{3}}{3} \operatorname{atan}{\left (\frac{\sqrt{3} x}{3} - \frac{\sqrt{3}}{3} \right )}$

            Таким образом, результат будет: $- \frac{4 \sqrt{3}}{3} \operatorname{atan}{\left (\frac{\sqrt{3} x}{3} - \frac{\sqrt{3}}{3} \right )}$

         Результат есть: $\frac{1}{2} \log{\left (x^{2} - 2 x + 4 \right )} - \sqrt{3} \operatorname{atan}{\left (\frac{\sqrt{3} x}{3} - \frac{\sqrt{3}}{3} \right )}$

      Таким образом, результат будет: $- \frac{1}{24} \log{\left (x^{2} - 2 x + 4 \right )} + \frac{\sqrt{3}}{12} \operatorname{atan}{\left (\frac{\sqrt{3} x}{3} - \frac{\sqrt{3}}{3} \right )}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int \frac{1}{12 x + 24}\, dx = \frac{1}{12} \int \frac{1}{x + 2}\, dx$

      1. пусть $u = x + 2$.

         Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

         $\int \frac{1}{u}\, du$

         1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\log{\left (x + 2 \right )}$

      Таким образом, результат будет: $\frac{1}{12} \log{\left (x + 2 \right )}$

   Результат есть: $\frac{1}{12} \log{\left (x + 2 \right )} - \frac{1}{24} \log{\left (x^{2} - 2 x + 4 \right )} + \frac{\sqrt{3}}{12} \operatorname{atan}{\left (\frac{\sqrt{3} x}{3} - \frac{\sqrt{3}}{3} \right )}$

3. Теперь упростить:

   $\frac{1}{12} \log{\left (x + 2 \right )} - \frac{1}{24} \log{\left (x^{2} - 2 x + 4 \right )} + \frac{\sqrt{3}}{12} \operatorname{atan}{\left (\frac{\sqrt{3}}{3} \left(x - 1\right) \right )}$

4. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{1}{12} \log{\left (x + 2 \right )} - \frac{1}{24} \log{\left (x^{2} - 2 x + 4 \right )} + \frac{\sqrt{3}}{12} \operatorname{atan}{\left (\frac{\sqrt{3}}{3} \left(x - 1\right) \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{1}{12} \log{\left (x + 2 \right )} - \frac{1}{24} \log{\left (x^{2} - 2 x + 4 \right )} + \frac{\sqrt{3}}{12} \operatorname{atan}{\left (\frac{\sqrt{3}}{3} \left(x - 1\right) \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                                                  
  /                                                  
 |                                                ___
 |    1           log(2)   log(3)   log(4)   pi*\/ 3 
 |  ------ dx = - ------ + ------ + ------ + --------
 |   3              12       24       24        72   
 |  x  + 8                                           
 |                                                   
/                                                    
0                                                    

$${{\log 4}\over{24}}+{{\log 3}\over{24}}-{{\log 2}\over{12}}+{{\pi }\over{8\,3^{{{3}\over{2}}}}}$$

Численный ответ

0.121350485537597

Ответ (Неопределённый)

                                                              /    ___       ___\
  /                                                   ___     |  \/ 3    x*\/ 3 |
 |                    /     2      \                \/ 3 *atan|- ----- + -------|
 |   1             log\4 + x  - 2*x/   log(2 + x)             \    3        3   /
 | ------ dx = C - ----------------- + ---------- + -----------------------------
 |  3                      24              12                     12             
 | x  + 8                                                                        
 |                                                                               
/                                                                                

$$-{{\log \left(x^2-2\,x+4\right)}\over{24}}+{{\arctan \left({{2\,x-2 }\over{2\,\sqrt{3}}}\right)}\over{4\,\sqrt{3}}}+{{\log \left(x+2 \right)}\over{12}}$$