Интеграл (1-4*x)^7 (dx)

Вы ввели

  1              
  /              
 |               
 |           7   
 |  (1 - 4*x)  dx
 |               
/                
0                

$$\int\limits_{0}^{1} \left(1 - 4 x\right)^{7}\, dx$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = 1 - 4 x$.

      Тогда пусть $du = - 4 dx$ и подставим $- \frac{du}{4}$:

      $\int \frac{u^{7}}{16}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- \frac{u^{7}}{4}\right)\, du = - \frac{\int u^{7}\, du}{4}$

         1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int u^{7}\, du = \frac{u^{8}}{8}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{8}}{32}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $- \frac{\left(1 - 4 x\right)^{8}}{32}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\left(1 - 4 x\right)^{7} = - 16384 x^{7} + 28672 x^{6} - 21504 x^{5} + 8960 x^{4} - 2240 x^{3} + 336 x^{2} - 28 x + 1$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- 16384 x^{7}\right)\, dx = - 16384 \int x^{7}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{7}\, dx = \frac{x^{8}}{8}$

         Таким образом, результат будет: $- 2048 x^{8}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 28672 x^{6}\, dx = 28672 \int x^{6}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{6}\, dx = \frac{x^{7}}{7}$

         Таким образом, результат будет: $4096 x^{7}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- 21504 x^{5}\right)\, dx = - 21504 \int x^{5}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{5}\, dx = \frac{x^{6}}{6}$

         Таким образом, результат будет: $- 3584 x^{6}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 8960 x^{4}\, dx = 8960 \int x^{4}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{4}\, dx = \frac{x^{5}}{5}$

         Таким образом, результат будет: $1792 x^{5}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- 2240 x^{3}\right)\, dx = - 2240 \int x^{3}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

         Таким образом, результат будет: $- 560 x^{4}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 336 x^{2}\, dx = 336 \int x^{2}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         Таким образом, результат будет: $112 x^{3}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- 28 x\right)\, dx = - 28 \int x\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Таким образом, результат будет: $- 14 x^{2}$

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int 1\, dx = x$

      Результат есть: $- 2048 x^{8} + 4096 x^{7} - 3584 x^{6} + 1792 x^{5} - 560 x^{4} + 112 x^{3} - 14 x^{2} + x$

2. Теперь упростить:

   $- \frac{\left(4 x - 1\right)^{8}}{32}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $- \frac{\left(4 x - 1\right)^{8}}{32}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$- \frac{\left(4 x - 1\right)^{8}}{32}+ \mathrm{constant}$

Ответ

-205

$$-205$$

=

=

-205

$$-205$$

Численный ответ

-205.0

Ответ (Неопределённый)

  /                              
 |                              8
 |          7          (1 - 4*x) 
 | (1 - 4*x)  dx = C - ----------
 |                         32    
/                                

$$\int \left(1 - 4 x\right)^{7}\, dx = C - \frac{\left(1 - 4 x\right)^{8}}{32}$$

График