Интеграл 1-e^(-5*x) (dx)

Вы ввели

  1               
  /               
 |                
 |  /     -5*x\   
 |  \1 - E    / dx
 |                
/                 
0                 

$$\int_{0}^{1} 1 - e^{- 5 x}\, dx$$

Подробное решение

1. Интегрируем почленно:

   1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

      $\int 1\, dx = x$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int - e^{- 5 x}\, dx = - \int e^{- 5 x}\, dx$

      1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

         Метод #1

         1. пусть $u = - 5 x$.

            Тогда пусть $du = - 5 dx$ и подставим $- \frac{du}{5}$:

            $\int e^{u}\, du$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int e^{u}\, du = - \frac{1}{5} \int e^{u}\, du$

               1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

                  $\int e^{u}\, du = e^{u}$

               Таким образом, результат будет: $- \frac{e^{u}}{5}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $- \frac{1}{5} e^{- 5 x}$

         Метод #2

         1. Перепишите подынтегральное выражение:

            $e^{- 5 x} = e^{- 5 x}$

         2. пусть $u = - 5 x$.

            Тогда пусть $du = - 5 dx$ и подставим $- \frac{du}{5}$:

            $\int e^{u}\, du$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int e^{u}\, du = - \frac{1}{5} \int e^{u}\, du$

               1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

                  $\int e^{u}\, du = e^{u}$

               Таким образом, результат будет: $- \frac{e^{u}}{5}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $- \frac{1}{5} e^{- 5 x}$

      Таким образом, результат будет: $\frac{1}{5} e^{- 5 x}$

   Результат есть: $x + \frac{1}{5} e^{- 5 x}$

2. Добавляем постоянную интегрирования:

   $x + \frac{1}{5} e^{- 5 x}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$x + \frac{1}{5} e^{- 5 x}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                         
  /                         
 |                        -5
 |  /     -5*x\      4   e  
 |  \1 - E    / dx = - + ---
 |                   5    5 
/                           
0                           

$${{5\,E^5\,\log E-E^5+1}\over{5\,E^5\,\log E}}$$

Численный ответ

0.801347589399817

Ответ (Неопределённый)

  /                              
 |                           -5*x
 | /     -5*x\              e    
 | \1 - E    / dx = C + x + -----
 |                            5  
/                                

$$x+{{1}\over{5\,E^{5\,x}\,\log E}}$$