Интеграл (1-7*x)^6 (dx)

Вы ввели

  1              
  /              
 |               
 |           6   
 |  (1 - 7*x)  dx
 |               
/                
0                

$$\int_{0}^{1} \left(- 7 x + 1\right)^{6}\, dx$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = - 7 x + 1$.

      Тогда пусть $du = - 7 dx$ и подставим $- \frac{du}{7}$:

      $\int u^{6}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int u^{6}\, du = - \frac{1}{7} \int u^{6}\, du$

         1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{7}}{49}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $- \frac{1}{49} \left(- 7 x + 1\right)^{7}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\left(- 7 x + 1\right)^{6} = 117649 x^{6} - 100842 x^{5} + 36015 x^{4} - 6860 x^{3} + 735 x^{2} - 42 x + 1$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 117649 x^{6}\, dx = 117649 \int x^{6}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{6}\, dx = \frac{x^{7}}{7}$

         Таким образом, результат будет: $16807 x^{7}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int - 100842 x^{5}\, dx = - 100842 \int x^{5}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{5}\, dx = \frac{x^{6}}{6}$

         Таким образом, результат будет: $- 16807 x^{6}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 36015 x^{4}\, dx = 36015 \int x^{4}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{4}\, dx = \frac{x^{5}}{5}$

         Таким образом, результат будет: $7203 x^{5}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int - 6860 x^{3}\, dx = - 6860 \int x^{3}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

         Таким образом, результат будет: $- 1715 x^{4}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 735 x^{2}\, dx = 735 \int x^{2}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         Таким образом, результат будет: $245 x^{3}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int - 42 x\, dx = - 42 \int x\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Таким образом, результат будет: $- 21 x^{2}$

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int 1\, dx = x$

      Результат есть: $16807 x^{7} - 16807 x^{6} + 7203 x^{5} - 1715 x^{4} + 245 x^{3} - 21 x^{2} + x$

2. Теперь упростить:

   $\frac{1}{49} \left(7 x - 1\right)^{7}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{1}{49} \left(7 x - 1\right)^{7}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{1}{49} \left(7 x - 1\right)^{7}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                     
  /                     
 |                      
 |           6          
 |  (1 - 7*x)  dx = 5713
 |                      
/                       
0                       

$$5713$$

Численный ответ

5713.0

Ответ (Неопределённый)

  /                              
 |                              7
 |          6          (1 - 7*x) 
 | (1 - 7*x)  dx = C - ----------
 |                         49    
/                                

$$-{{\left(1-7\,x\right)^7}\over{49}}$$