Интеграл (1-t)/(1+t) (dx)

Вы ввели

  1         
  /         
 |          
 |  1 - t   
 |  ----- dt
 |  1 + t   
 |          
/           
0           

$$\int_{0}^{1} \frac{- t + 1}{t + 1}\, dt$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = - t + 1$.

      Тогда пусть $du = - dt$ и подставим $du$:

      $\int \frac{u}{u - 2}\, du$

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

         $\frac{u}{u - 2} = 1 + \frac{2}{u - 2}$

      2. Интегрируем почленно:

         1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

            $\int 1\, du = u$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{2}{u - 2}\, du = 2 \int \frac{1}{u - 2}\, du$

            1. пусть $u = u - 2$.

               Тогда пусть $du = du$ и подставим $du$:

               $\int \frac{1}{u}\, du$

               1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

               Если сейчас заменить $u$ ещё в:

               $\log{\left (u - 2 \right )}$

            Таким образом, результат будет: $2 \log{\left (u - 2 \right )}$

         Результат есть: $u + 2 \log{\left (u - 2 \right )}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $- t + 2 \log{\left (- t - 1 \right )} + 1$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{- t + 1}{t + 1} = -1 + \frac{2}{t + 1}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int -1\, dt = - t$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{2}{t + 1}\, dt = 2 \int \frac{1}{t + 1}\, dt$

         1. пусть $u = t + 1$.

            Тогда пусть $du = dt$ и подставим $du$:

            $\int \frac{1}{u}\, du$

            1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\log{\left (t + 1 \right )}$

         Таким образом, результат будет: $2 \log{\left (t + 1 \right )}$

      Результат есть: $- t + 2 \log{\left (t + 1 \right )}$

   Метод #3

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{- t + 1}{t + 1} = - \frac{t}{t + 1} + \frac{1}{t + 1}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int - \frac{t}{t + 1}\, dt = - \int \frac{t}{t + 1}\, dt$

         1. Перепишите подынтегральное выражение:

            $\frac{t}{t + 1} = 1 - \frac{1}{t + 1}$

         2. Интегрируем почленно:

            1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

               $\int 1\, dt = t$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int - \frac{1}{t + 1}\, dt = - \int \frac{1}{t + 1}\, dt$

               1. пусть $u = t + 1$.

                  Тогда пусть $du = dt$ и подставим $du$:

                  $\int \frac{1}{u}\, du$

                  1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

                  Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                  $\log{\left (t + 1 \right )}$

               Таким образом, результат будет: $- \log{\left (t + 1 \right )}$

            Результат есть: $t - \log{\left (t + 1 \right )}$

         Таким образом, результат будет: $- t + \log{\left (t + 1 \right )}$

      1. пусть $u = t + 1$.

         Тогда пусть $du = dt$ и подставим $du$:

         $\int \frac{1}{u}\, du$

         1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\log{\left (t + 1 \right )}$

      Результат есть: $- t + 2 \log{\left (t + 1 \right )}$

2. Добавляем постоянную интегрирования:

   $- t + 2 \log{\left (- t - 1 \right )} + 1+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$- t + 2 \log{\left (- t - 1 \right )} + 1+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                         
  /                         
 |                          
 |  1 - t                   
 |  ----- dt = -1 + 2*log(2)
 |  1 + t                   
 |                          
/                           
0                           

$$2\,\log 2-1$$

Численный ответ

0.386294361119891

Ответ (Неопределённый)

  /                                    
 |                                     
 | 1 - t                               
 | ----- dt = 1 + C - t + 2*log(-1 - t)
 | 1 + t                               
 |                                     
/                                      

$$2\,\log \left(t+1\right)-t$$