Интеграл (1-x)/(2+x) (dx)

Вы ввели

  1         
  /         
 |          
 |  1 - x   
 |  ----- dx
 |  2 + x   
 |          
/           
0           

$$\int_{0}^{1} \frac{- x + 1}{x + 2}\, dx$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = - x + 1$.

      Тогда пусть $du = - dx$ и подставим $du$:

      $\int \frac{u}{u - 3}\, du$

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

         $\frac{u}{u - 3} = 1 + \frac{3}{u - 3}$

      2. Интегрируем почленно:

         1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

            $\int 1\, du = u$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{3}{u - 3}\, du = 3 \int \frac{1}{u - 3}\, du$

            1. пусть $u = u - 3$.

               Тогда пусть $du = du$ и подставим $du$:

               $\int \frac{1}{u}\, du$

               1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

               Если сейчас заменить $u$ ещё в:

               $\log{\left (u - 3 \right )}$

            Таким образом, результат будет: $3 \log{\left (u - 3 \right )}$

         Результат есть: $u + 3 \log{\left (u - 3 \right )}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $- x + 3 \log{\left (- x - 2 \right )} + 1$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{- x + 1}{x + 2} = -1 + \frac{3}{x + 2}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int -1\, dx = - x$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{3}{x + 2}\, dx = 3 \int \frac{1}{x + 2}\, dx$

         1. пусть $u = x + 2$.

            Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

            $\int \frac{1}{u}\, du$

            1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\log{\left (x + 2 \right )}$

         Таким образом, результат будет: $3 \log{\left (x + 2 \right )}$

      Результат есть: $- x + 3 \log{\left (x + 2 \right )}$

   Метод #3

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{- x + 1}{x + 2} = - \frac{x}{x + 2} + \frac{1}{x + 2}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int - \frac{x}{x + 2}\, dx = - \int \frac{x}{x + 2}\, dx$

         1. Перепишите подынтегральное выражение:

            $\frac{x}{x + 2} = 1 - \frac{2}{x + 2}$

         2. Интегрируем почленно:

            1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

               $\int 1\, dx = x$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int - \frac{2}{x + 2}\, dx = - 2 \int \frac{1}{x + 2}\, dx$

               1. пусть $u = x + 2$.

                  Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

                  $\int \frac{1}{u}\, du$

                  1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

                  Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                  $\log{\left (x + 2 \right )}$

               Таким образом, результат будет: $- 2 \log{\left (x + 2 \right )}$

            Результат есть: $x - 2 \log{\left (x + 2 \right )}$

         Таким образом, результат будет: $- x + 2 \log{\left (x + 2 \right )}$

      1. пусть $u = x + 2$.

         Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

         $\int \frac{1}{u}\, du$

         1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\log{\left (x + 2 \right )}$

      Результат есть: $- x + 3 \log{\left (x + 2 \right )}$

2. Добавляем постоянную интегрирования:

   $- x + 3 \log{\left (- x - 2 \right )} + 1+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$- x + 3 \log{\left (- x - 2 \right )} + 1+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                                    
  /                                    
 |                                     
 |  1 - x                              
 |  ----- dx = -1 - 3*log(2) + 3*log(3)
 |  2 + x                              
 |                                     
/                                      
0                                      

$$3\,\log 3-3\,\log 2-1$$

Численный ответ

0.216395324324493

Ответ (Неопределённый)

  /                                    
 |                                     
 | 1 - x                               
 | ----- dx = 1 + C - x + 3*log(-2 - x)
 | 2 + x                               
 |                                     
/                                      

$$3\,\log \left(x+2\right)-x$$