Интеграл (1-x)*log(x) (dx)

Вы ввели

  1                  
  /                  
 |                   
 |  (1 - x)*log(x) dx
 |                   
/                    
0                    

$$\int_{0}^{1} \left(- x + 1\right) \log{\left (x \right )}\, dx$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = - x$.

      Тогда пусть $du = - dx$ и подставим $du$:

      $\int - u \log{\left (- u \right )} - \log{\left (- u \right )}\, du$

      1. Интегрируем почленно:

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int - u \log{\left (- u \right )}\, du = - \int u \log{\left (- u \right )}\, du$

            1. пусть $u = - u$.

               Тогда пусть $du = - du$ и подставим $du$:

               $\int u \log{\left (u \right )}\, du$

               1. Используем интегрирование по частям:

                  $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

                  пусть $u{\left (u \right )} = \log{\left (u \right )}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (u \right )} = u$ dx.

                  Затем $\operatorname{du}{\left (u \right )} = \frac{1}{u}$ dx.

                  Чтобы найти $v{\left (u \right )}$:

                  1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

                     $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

                  Теперь решаем под-интеграл.

               2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                  $\int \frac{u}{2}\, du = \frac{1}{2} \int u\, du$

                  1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

                     $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

                  Таким образом, результат будет: $\frac{u^{2}}{4}$

               Если сейчас заменить $u$ ещё в:

               $\frac{u^{2}}{2} \log{\left (- u \right )} - \frac{u^{2}}{4}$

            Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{2}}{2} \log{\left (- u \right )} + \frac{u^{2}}{4}$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int - \log{\left (- u \right )}\, du = - \int \log{\left (- u \right )}\, du$

            1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

               Метод #1

               1. пусть $u = - u$.

                  Тогда пусть $du = - du$ и подставим $- du$:

                  $\int \log{\left (u \right )}\, du$

                  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                     $\int \log{\left (u \right )}\, du = - \int \log{\left (u \right )}\, du$

                     1. Используем интегрирование по частям:

                        $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

                        пусть $u{\left (u \right )} = \log{\left (u \right )}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (u \right )} = 1$ dx.

                        Затем $\operatorname{du}{\left (u \right )} = \frac{1}{u}$ dx.

                        Чтобы найти $v{\left (u \right )}$:

                        1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

                           $\int 1\, du = u$

                        Теперь решаем под-интеграл.

                     2. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

                        $\int 1\, du = u$

                     Таким образом, результат будет: $- u \log{\left (u \right )} + u$

                  Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                  $u \log{\left (- u \right )} - u$

               Метод #2

               1. Используем интегрирование по частям:

                  $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

                  пусть $u{\left (u \right )} = \log{\left (- u \right )}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (u \right )} = 1$ dx.

                  Затем $\operatorname{du}{\left (u \right )} = \frac{1}{u}$ dx.

                  Чтобы найти $v{\left (u \right )}$:

                  1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

                     $\int 1\, du = u$

                  Теперь решаем под-интеграл.

               2. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

                  $\int 1\, du = u$

            Таким образом, результат будет: $- u \log{\left (- u \right )} + u$

         Результат есть: $- \frac{u^{2}}{2} \log{\left (- u \right )} + \frac{u^{2}}{4} - u \log{\left (- u \right )} + u$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $- \frac{x^{2}}{2} \log{\left (x \right )} + \frac{x^{2}}{4} + x \log{\left (x \right )} - x$

   Метод #2

   1. Используем интегрирование по частям:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      пусть $u{\left (x \right )} = \log{\left (x \right )}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (x \right )} = - x + 1$ dx.

      Затем $\operatorname{du}{\left (x \right )} = \frac{1}{x}$ dx.

      Чтобы найти $v{\left (x \right )}$:

      1. Интегрируем почленно:

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int - x\, dx = - \int x\, dx$

            1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

               $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

            Таким образом, результат будет: $- \frac{x^{2}}{2}$

         1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

            $\int 1\, dx = x$

         Результат есть: $- \frac{x^{2}}{2} + x$

      Теперь решаем под-интеграл.

   2. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{1}{x} \left(- \frac{x^{2}}{2} + x\right) = - \frac{x}{2} + 1$

   3. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int - \frac{x}{2}\, dx = - \frac{1}{2} \int x\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{x^{2}}{4}$

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int 1\, dx = x$

      Результат есть: $- \frac{x^{2}}{4} + x$

   Метод #3

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\left(- x + 1\right) \log{\left (x \right )} = - x \log{\left (x \right )} + \log{\left (x \right )}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int - x \log{\left (x \right )}\, dx = - \int x \log{\left (x \right )}\, dx$

         1. Используем интегрирование по частям:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            пусть $u{\left (x \right )} = \log{\left (x \right )}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (x \right )} = x$ dx.

            Затем $\operatorname{du}{\left (x \right )} = \frac{1}{x}$ dx.

            Чтобы найти $v{\left (x \right )}$:

            1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

               $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

            Теперь решаем под-интеграл.

         2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{x}{2}\, dx = \frac{1}{2} \int x\, dx$

            1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

               $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

            Таким образом, результат будет: $\frac{x^{2}}{4}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{x^{2}}{2} \log{\left (x \right )} + \frac{x^{2}}{4}$

      1. Используем интегрирование по частям:

         $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

         пусть $u{\left (x \right )} = \log{\left (x \right )}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (x \right )} = 1$ dx.

         Затем $\operatorname{du}{\left (x \right )} = \frac{1}{x}$ dx.

         Чтобы найти $v{\left (x \right )}$:

         1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

            $\int 1\, dx = x$

         Теперь решаем под-интеграл.

      2. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int 1\, dx = x$

      Результат есть: $- \frac{x^{2}}{2} \log{\left (x \right )} + \frac{x^{2}}{4} + x \log{\left (x \right )} - x$

2. Теперь упростить:

   $\frac{x}{4} \left(- 2 x \log{\left (x \right )} + x + 4 \log{\left (x \right )} - 4\right)$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{x}{4} \left(- 2 x \log{\left (x \right )} + x + 4 \log{\left (x \right )} - 4\right)+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{x}{4} \left(- 2 x \log{\left (x \right )} + x + 4 \log{\left (x \right )} - 4\right)+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                         
  /                         
 |                          
 |  (1 - x)*log(x) dx = -3/4
 |                          
/                           
0                           

$$-{{3}\over{4}}$$

Численный ответ

-0.75

Ответ (Неопределённый)

  /                             2               2       
 |                             x               x *log(x)
 | (1 - x)*log(x) dx = C - x + -- + x*log(x) - ---------
 |                             4                   2    
/                                                       

$$\left(x-{{x^2}\over{2}}\right)\,\log x+{{x^2-4\,x}\over{4}}$$