Интеграл (1-x)^4/7 (dx)

Вы ввели

  1            
  /            
 |             
 |         4   
 |  (1 - x)    
 |  -------- dx
 |     7       
 |             
/              
0              

$$\int\limits_{0}^{1} \frac{\left(1 - x\right)^{4}}{7}\, dx$$

Подробное решение

1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

   $\int \frac{\left(1 - x\right)^{4}}{7}\, dx = \frac{\int \left(1 - x\right)^{4}\, dx}{7}$

   1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

      Метод #1

      1. пусть $u = 1 - x$.

         Тогда пусть $du = - dx$ и подставим $- du$:

         $\int u^{4}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \left(- u^{4}\right)\, du = - \int u^{4}\, du$

            1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

               $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

            Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{5}}{5}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $- \frac{\left(1 - x\right)^{5}}{5}$

      Метод #2

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

         $\left(1 - x\right)^{4} = x^{4} - 4 x^{3} + 6 x^{2} - 4 x + 1$

      2. Интегрируем почленно:

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{4}\, dx = \frac{x^{5}}{5}$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \left(- 4 x^{3}\right)\, dx = - 4 \int x^{3}\, dx$

            1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

               $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

            Таким образом, результат будет: $- x^{4}$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int 6 x^{2}\, dx = 6 \int x^{2}\, dx$

            1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

               $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

            Таким образом, результат будет: $2 x^{3}$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \left(- 4 x\right)\, dx = - 4 \int x\, dx$

            1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

               $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

            Таким образом, результат будет: $- 2 x^{2}$

         1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

            $\int 1\, dx = x$

         Результат есть: $\frac{x^{5}}{5} - x^{4} + 2 x^{3} - 2 x^{2} + x$

   Таким образом, результат будет: $- \frac{\left(1 - x\right)^{5}}{35}$

2. Теперь упростить:

   $\frac{\left(x - 1\right)^{5}}{35}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{\left(x - 1\right)^{5}}{35}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{\left(x - 1\right)^{5}}{35}+ \mathrm{constant}$

Ответ

1/35

$$\frac{1}{35}$$

=

=

1/35

$$\frac{1}{35}$$

Численный ответ

0.0285714285714286

Ответ (Неопределённый)

  /                          
 |                           
 |        4                 5
 | (1 - x)           (1 - x) 
 | -------- dx = C - --------
 |    7                 35   
 |                           
/                            

$$\int \frac{\left(1 - x\right)^{4}}{7}\, dx = C - \frac{\left(1 - x\right)^{5}}{35}$$

График