Интеграл (1-x)^3 (dx)

Вы ввели

  1            
  /            
 |             
 |         3   
 |  (1 - x)  dx
 |             
/              
0              

$$\int\limits_{0}^{1} \left(1 - x\right)^{3}\, dx$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = 1 - x$.

      Тогда пусть $du = - dx$ и подставим $- du$:

      $\int u^{3}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- u^{3}\right)\, du = - \int u^{3}\, du$

         1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{4}}{4}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $- \frac{\left(1 - x\right)^{4}}{4}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\left(1 - x\right)^{3} = - x^{3} + 3 x^{2} - 3 x + 1$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- x^{3}\right)\, dx = - \int x^{3}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{x^{4}}{4}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 3 x^{2}\, dx = 3 \int x^{2}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         Таким образом, результат будет: $x^{3}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- 3 x\right)\, dx = - 3 \int x\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{3 x^{2}}{2}$

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int 1\, dx = x$

      Результат есть: $- \frac{x^{4}}{4} + x^{3} - \frac{3 x^{2}}{2} + x$

2. Теперь упростить:

   $- \frac{\left(x - 1\right)^{4}}{4}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $- \frac{\left(x - 1\right)^{4}}{4}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$- \frac{\left(x - 1\right)^{4}}{4}+ \mathrm{constant}$

Ответ

1/4

$$\frac{1}{4}$$

=

=

1/4

$$\frac{1}{4}$$

Численный ответ

0.25

Ответ (Неопределённый)

  /                          
 |                          4
 |        3          (1 - x) 
 | (1 - x)  dx = C - --------
 |                      4    
/                            

$$\int \left(1 - x\right)^{3}\, dx = C - \frac{\left(1 - x\right)^{4}}{4}$$

График