Интеграл (1+2*x)^9 (dx)

Вы ввели

  1              
  /              
 |               
 |           9   
 |  (1 + 2*x)  dx
 |               
/                
0                

$$\int_{0}^{1} \left(2 x + 1\right)^{9}\, dx$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = 2 x + 1$.

      Тогда пусть $du = 2 dx$ и подставим $\frac{du}{2}$:

      $\int u^{9}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int u^{9}\, du = \frac{1}{2} \int u^{9}\, du$

         1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int u^{9}\, du = \frac{u^{10}}{10}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{u^{10}}{20}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $\frac{1}{20} \left(2 x + 1\right)^{10}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\left(2 x + 1\right)^{9} = 512 x^{9} + 2304 x^{8} + 4608 x^{7} + 5376 x^{6} + 4032 x^{5} + 2016 x^{4} + 672 x^{3} + 144 x^{2} + 18 x + 1$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 512 x^{9}\, dx = 512 \int x^{9}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{9}\, dx = \frac{x^{10}}{10}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{256 x^{10}}{5}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 2304 x^{8}\, dx = 2304 \int x^{8}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{8}\, dx = \frac{x^{9}}{9}$

         Таким образом, результат будет: $256 x^{9}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 4608 x^{7}\, dx = 4608 \int x^{7}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{7}\, dx = \frac{x^{8}}{8}$

         Таким образом, результат будет: $576 x^{8}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 5376 x^{6}\, dx = 5376 \int x^{6}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{6}\, dx = \frac{x^{7}}{7}$

         Таким образом, результат будет: $768 x^{7}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 4032 x^{5}\, dx = 4032 \int x^{5}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{5}\, dx = \frac{x^{6}}{6}$

         Таким образом, результат будет: $672 x^{6}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 2016 x^{4}\, dx = 2016 \int x^{4}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{4}\, dx = \frac{x^{5}}{5}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{2016 x^{5}}{5}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 672 x^{3}\, dx = 672 \int x^{3}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

         Таким образом, результат будет: $168 x^{4}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 144 x^{2}\, dx = 144 \int x^{2}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         Таким образом, результат будет: $48 x^{3}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 18 x\, dx = 18 \int x\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Таким образом, результат будет: $9 x^{2}$

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int 1\, dx = x$

      Результат есть: $\frac{256 x^{10}}{5} + 256 x^{9} + 576 x^{8} + 768 x^{7} + 672 x^{6} + \frac{2016 x^{5}}{5} + 168 x^{4} + 48 x^{3} + 9 x^{2} + x$

2. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{1}{20} \left(2 x + 1\right)^{10}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{1}{20} \left(2 x + 1\right)^{10}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                        
  /                        
 |                         
 |           9             
 |  (1 + 2*x)  dx = 14762/5
 |                         
/                          
0                          

$${{14762}\over{5}}$$

Численный ответ

2952.4

Ответ (Неопределённый)

  /                               
 |                              10
 |          9          (1 + 2*x)  
 | (1 + 2*x)  dx = C + -----------
 |                          20    
/                                 

$${{\left(2\,x+1\right)^{10}}\over{20}}$$