Интеграл (1+sin(x))/cos(x) (dx)

Вы ввели

  1              
  /              
 |               
 |  1 + sin(x)   
 |  ---------- dx
 |    cos(x)     
 |               
/                
0                

$$\int\limits_{0}^{1} \frac{\sin{\left(x \right)} + 1}{\cos{\left(x \right)}}\, dx$$

Подробное решение

1. Перепишите подынтегральное выражение:

   $\frac{\sin{\left(x \right)} + 1}{\cos{\left(x \right)}} = \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}} + \frac{1}{\cos{\left(x \right)}}$

2. Интегрируем почленно:

   1. пусть $u = \cos{\left(x \right)}$.

      Тогда пусть $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ и подставим $- du$:

      $\int \frac{1}{u}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- \frac{1}{u}\right)\, du = - \int \frac{1}{u}\, du$

         1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$.

         Таким образом, результат будет: $- \log{\left(u \right)}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $- \log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}$

   1. Не могу найти шаги в поиске этот интеграла.

      Но интеграл

      $- \frac{\log{\left(\sin{\left(x \right)} - 1 \right)}}{2} + \frac{\log{\left(\sin{\left(x \right)} + 1 \right)}}{2}$

   Результат есть: $- \frac{\log{\left(\sin{\left(x \right)} - 1 \right)}}{2} + \frac{\log{\left(\sin{\left(x \right)} + 1 \right)}}{2} - \log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $- \frac{\log{\left(\sin{\left(x \right)} - 1 \right)}}{2} + \frac{\log{\left(\sin{\left(x \right)} + 1 \right)}}{2} - \log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$- \frac{\log{\left(\sin{\left(x \right)} - 1 \right)}}{2} + \frac{\log{\left(\sin{\left(x \right)} + 1 \right)}}{2} - \log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}+ \mathrm{constant}$

Ответ

                          /       2     \
-2*log(1 - tan(1/2)) + log\1 + tan (1/2)/

$$\log{\left(\tan^{2}{\left(\frac{1}{2} \right)} + 1 \right)} - 2 \log{\left(1 - \tan{\left(\frac{1}{2} \right)} \right)}$$

=

=

                          /       2     \
-2*log(1 - tan(1/2)) + log\1 + tan (1/2)/

$$\log{\left(\tan^{2}{\left(\frac{1}{2} \right)} + 1 \right)} - 2 \log{\left(1 - \tan{\left(\frac{1}{2} \right)} \right)}$$

Численный ответ

1.84181764126953

Ответ (Неопределённый)

  /                                                                    
 |                                                                     
 | 1 + sin(x)          log(1 + sin(x))                 log(-1 + sin(x))
 | ---------- dx = C + --------------- - log(cos(x)) - ----------------
 |   cos(x)                   2                               2        
 |                                                                     
/                                                                      

$$\int \frac{\sin{\left(x \right)} + 1}{\cos{\left(x \right)}}\, dx = C - \frac{\log{\left(\sin{\left(x \right)} - 1 \right)}}{2} + \frac{\log{\left(\sin{\left(x \right)} + 1 \right)}}{2} - \log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}$$

График