Интеграл 5/(x^2+25) (dx)

Вы ввели

  1           
  /           
 |            
 |     5      
 |  ------- dx
 |   2        
 |  x  + 25   
 |            
/             
0             

$$\int_{0}^{1} \frac{5}{x^{2} + 25}\, dx$$

Подробное решение

Дан интеграл:

  /          
 |           
 |    5      
 | ------- dx
 |  2        
 | x  + 25   
 |           
/            

Перепишем подинтегральную функцию

   5            1       
------- = --------------
 2          /     2    \
x  + 25     |/-x \     |
          5*||---|  + 1|
            \\ 5 /     /

или

  /            
 |             
 |    5        
 | ------- dx  
 |  2         =
 | x  + 25     
 |             
/              
  

  /             
 |              
 |     1        
 | ---------- dx
 |      2       
 | /-x \        
 | |---|  + 1   
 | \ 5 /        
 |              
/               
----------------
       5        

В интеграле

  /             
 |              
 |     1        
 | ---------- dx
 |      2       
 | /-x \        
 | |---|  + 1   
 | \ 5 /        
 |              
/               
----------------
       5        

сделаем замену

    -x 
v = ---
     5 

тогда

интеграл =

  /                   
 |                    
 |   1                
 | ------ dv          
 |      2             
 | 1 + v              
 |                    
/              atan(v)
------------ = -------
     5            5   

делаем обратную замену

  /                       
 |                        
 |     1                  
 | ---------- dx          
 |      2                 
 | /-x \                  
 | |---|  + 1             
 | \ 5 /                  
 |                        
/                      /x\
---------------- = atan|-|
       5               \5/

Решением будет:

        /x\
C + atan|-|
        \5/

Ответ

  1                       
  /                       
 |                        
 |     5                  
 |  ------- dx = atan(1/5)
 |   2                    
 |  x  + 25               
 |                        
/                         
0                         

$$\arctan \left({{1}\over{5}}\right)$$

Численный ответ

0.197395559849881

Ответ (Неопределённый)

  /                        
 |                         
 |    5                 /x\
 | ------- dx = C + atan|-|
 |  2                   \5/
 | x  + 25                 
 |                         
/                          

$$\arctan \left({{x}\over{5}}\right)$$