Решение интегралов/ Определённый интеграл

Интеграл (5-9*x)^8 (dx)

Преподаватель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

∫d
Примеры

↑ Введите нижнюю границу интеграла и верхнюю границу интеграла b, подинтегральную функцию f(x) - смотрите пример

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

    Решение

    Вы ввели [src]
      1              
  /              
 |               
 |           8   
 |  (5 - 9*x)  dx
 |               
/                
0
    ∫01(−9x+5)8 dx\int_{0}^{1} \left(- 9 x + 5\right)^{8}\, dx
    Подробное решение

    1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

      Метод #1

      1. пусть u=−9x+5u = - 9 x + 5.

        Тогда пусть du=−9dxdu = - 9 dx и подставим −du9- \frac{du}{9}:

        ∫u8 du\int u^{8}\, du

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          ∫u8 du=−19∫u8 du\int u^{8}\, du = - \frac{1}{9} \int u^{8}\, du

          1. Интеграл unu^{n} есть un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1}:

            ∫u8 du=u99\int u^{8}\, du = \frac{u^{9}}{9}

          Таким образом, результат будет: −u981- \frac{u^{9}}{81}

        Если сейчас заменить uu ещё в:

        −181(−9x+5)9- \frac{1}{81} \left(- 9 x + 5\right)^{9}

      Метод #2

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

        (−9x+5)8=43046721x8−191318760x7+372008700x6−413343000x5+287043750x4−127575000x3+35437500x2−5625000x+390625\left(- 9 x + 5\right)^{8} = 43046721 x^{8} - 191318760 x^{7} + 372008700 x^{6} - 413343000 x^{5} + 287043750 x^{4} - 127575000 x^{3} + 35437500 x^{2} - 5625000 x + 390625

      2. Интегрируем почленно:

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          ∫43046721x8 dx=43046721∫x8 dx\int 43046721 x^{8}\, dx = 43046721 \int x^{8}\, dx

          1. Интеграл xnx^{n} есть xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1}:

            ∫x8 dx=x99\int x^{8}\, dx = \frac{x^{9}}{9}

          Таким образом, результат будет: 4782969x94782969 x^{9}

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          ∫−191318760x7 dx=−191318760∫x7 dx\int - 191318760 x^{7}\, dx = - 191318760 \int x^{7}\, dx

          1. Интеграл xnx^{n} есть xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1}:

            ∫x7 dx=x88\int x^{7}\, dx = \frac{x^{8}}{8}

          Таким образом, результат будет: −23914845x8- 23914845 x^{8}

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          ∫372008700x6 dx=372008700∫x6 dx\int 372008700 x^{6}\, dx = 372008700 \int x^{6}\, dx

          1. Интеграл xnx^{n} есть xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1}:

            ∫x6 dx=x77\int x^{6}\, dx = \frac{x^{7}}{7}

          Таким образом, результат будет: 53144100x753144100 x^{7}

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          ∫−413343000x5 dx=−413343000∫x5 dx\int - 413343000 x^{5}\, dx = - 413343000 \int x^{5}\, dx

          1. Интеграл xnx^{n} есть xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1}:

            ∫x5 dx=x66\int x^{5}\, dx = \frac{x^{6}}{6}

          Таким образом, результат будет: −68890500x6- 68890500 x^{6}

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          ∫287043750x4 dx=287043750∫x4 dx\int 287043750 x^{4}\, dx = 287043750 \int x^{4}\, dx

          1. Интеграл xnx^{n} есть xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1}:

            ∫x4 dx=x55\int x^{4}\, dx = \frac{x^{5}}{5}

          Таким образом, результат будет: 57408750x557408750 x^{5}

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          ∫−127575000x3 dx=−127575000∫x3 dx\int - 127575000 x^{3}\, dx = - 127575000 \int x^{3}\, dx

          1. Интеграл xnx^{n} есть xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1}:

            ∫x3 dx=x44\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}

          Таким образом, результат будет: −31893750x4- 31893750 x^{4}

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          ∫35437500x2 dx=35437500∫x2 dx\int 35437500 x^{2}\, dx = 35437500 \int x^{2}\, dx

          1. Интеграл xnx^{n} есть xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1}:

            ∫x2 dx=x33\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}

          Таким образом, результат будет: 11812500x311812500 x^{3}

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          ∫−5625000x dx=−5625000∫x dx\int - 5625000 x\, dx = - 5625000 \int x\, dx

          1. Интеграл xnx^{n} есть xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1}:

            ∫x dx=x22\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}

          Таким образом, результат будет: −2812500x2- 2812500 x^{2}

        1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

          ∫390625 dx=390625x\int 390625\, dx = 390625 x

        Результат есть: 4782969x9−23914845x8+53144100x7−68890500x6+57408750x5−31893750x4+11812500x3−2812500x2+390625x4782969 x^{9} - 23914845 x^{8} + 53144100 x^{7} - 68890500 x^{6} + 57408750 x^{5} - 31893750 x^{4} + 11812500 x^{3} - 2812500 x^{2} + 390625 x

    2. Теперь упростить:

      181(9x−5)9\frac{1}{81} \left(9 x - 5\right)^{9}

    3. Добавляем постоянную интегрирования:

      181(9x−5)9+constant\frac{1}{81} \left(9 x - 5\right)^{9}+ \mathrm{constant}

    Ответ:

    181(9x−5)9+constant\frac{1}{81} \left(9 x - 5\right)^{9}+ \mathrm{constant}

    График
    02468-8-6-4-2-1010-2000000000000000020000000000000000
    Ответ [src]
      1                      
  /                      
 |                       
 |           8           
 |  (5 - 9*x)  dx = 27349
 |                       
/                        
0
    2734927349
    Численный ответ [src]
    27349.0
    Ответ (Неопределённый) [src]
      /                              
 |                              9
 |          8          (5 - 9*x) 
 | (5 - 9*x)  dx = C - ----------
 |                         81    
/
    −(5−9 x)981-{{\left(5-9\,x\right)^9}\over{81}}
    Упростить