Интеграл (5-3*x)^21 (dx)

Вы ввели

  1               
  /               
 |                
 |           21   
 |  (5 - 3*x)   dx
 |                
/                 
0                 

$$\int_{0}^{1} \left(- 3 x + 5\right)^{21}\, dx$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = - 3 x + 5$.

      Тогда пусть $du = - 3 dx$ и подставим $- \frac{du}{3}$:

      $\int u^{21}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int u^{21}\, du = - \frac{1}{3} \int u^{21}\, du$

         1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int u^{21}\, du = \frac{u^{22}}{22}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{22}}{66}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $- \frac{1}{66} \left(- 3 x + 5\right)^{22}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\left(- 3 x + 5\right)^{21} = - 10460353203 x^{21} + 366112362105 x^{20} - 6101872701750 x^{19} + 64408656296250 x^{18} - 483064922221875 x^{17} + 2737367892590625 x^{16} - 12166079522625000 x^{15} + 43450284009375000 x^{14} - 126729995027343750 x^{13} + 305090728769531250 x^{12} - 610181457539062500 x^{11} + 1016969095898437500 x^{10} - 1412457077636718750 x^{9} + 1629758166503906250 x^{8} - 1552150634765625000 x^{7} + 1207228271484375000 x^{6} - 754517669677734375 x^{5} + 369861602783203125 x^{4} - 136985778808593750 x^{3} + 36048889160156250 x^{2} - 6008148193359375 x + 476837158203125$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int - 10460353203 x^{21}\, dx = - 10460353203 \int x^{21}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{21}\, dx = \frac{x^{22}}{22}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{10460353203 x^{22}}{22}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 366112362105 x^{20}\, dx = 366112362105 \int x^{20}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{20}\, dx = \frac{x^{21}}{21}$

         Таким образом, результат будет: $17433922005 x^{21}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int - 6101872701750 x^{19}\, dx = - 6101872701750 \int x^{19}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{19}\, dx = \frac{x^{20}}{20}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{610187270175 x^{20}}{2}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 64408656296250 x^{18}\, dx = 64408656296250 \int x^{18}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{18}\, dx = \frac{x^{19}}{19}$

         Таким образом, результат будет: $3389929278750 x^{19}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int - 483064922221875 x^{17}\, dx = - 483064922221875 \int x^{17}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{17}\, dx = \frac{x^{18}}{18}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{53673880246875 x^{18}}{2}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 2737367892590625 x^{16}\, dx = 2737367892590625 \int x^{16}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{16}\, dx = \frac{x^{17}}{17}$

         Таким образом, результат будет: $161021640740625 x^{17}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int - 12166079522625000 x^{15}\, dx = - 12166079522625000 \int x^{15}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{15}\, dx = \frac{x^{16}}{16}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{1520759940328125 x^{16}}{2}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 43450284009375000 x^{14}\, dx = 43450284009375000 \int x^{14}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{14}\, dx = \frac{x^{15}}{15}$

         Таким образом, результат будет: $2896685600625000 x^{15}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int - 126729995027343750 x^{13}\, dx = - 126729995027343750 \int x^{13}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{13}\, dx = \frac{x^{14}}{14}$

         Таким образом, результат будет: $- 9052142501953125 x^{14}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 305090728769531250 x^{12}\, dx = 305090728769531250 \int x^{12}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{12}\, dx = \frac{x^{13}}{13}$

         Таким образом, результат будет: $23468517597656250 x^{13}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int - 610181457539062500 x^{11}\, dx = - 610181457539062500 \int x^{11}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{11}\, dx = \frac{x^{12}}{12}$

         Таким образом, результат будет: $- 50848454794921875 x^{12}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 1016969095898437500 x^{10}\, dx = 1016969095898437500 \int x^{10}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{10}\, dx = \frac{x^{11}}{11}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{1016969095898437500 x^{11}}{11}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int - 1412457077636718750 x^{9}\, dx = - 1412457077636718750 \int x^{9}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{9}\, dx = \frac{x^{10}}{10}$

         Таким образом, результат будет: $- 141245707763671875 x^{10}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 1629758166503906250 x^{8}\, dx = 1629758166503906250 \int x^{8}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{8}\, dx = \frac{x^{9}}{9}$

         Таким образом, результат будет: $181084240722656250 x^{9}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int - 1552150634765625000 x^{7}\, dx = - 1552150634765625000 \int x^{7}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{7}\, dx = \frac{x^{8}}{8}$

         Таким образом, результат будет: $- 194018829345703125 x^{8}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 1207228271484375000 x^{6}\, dx = 1207228271484375000 \int x^{6}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{6}\, dx = \frac{x^{7}}{7}$

         Таким образом, результат будет: $172461181640625000 x^{7}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int - 754517669677734375 x^{5}\, dx = - 754517669677734375 \int x^{5}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{5}\, dx = \frac{x^{6}}{6}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{251505889892578125 x^{6}}{2}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 369861602783203125 x^{4}\, dx = 369861602783203125 \int x^{4}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{4}\, dx = \frac{x^{5}}{5}$

         Таким образом, результат будет: $73972320556640625 x^{5}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int - 136985778808593750 x^{3}\, dx = - 136985778808593750 \int x^{3}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{68492889404296875 x^{4}}{2}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 36048889160156250 x^{2}\, dx = 36048889160156250 \int x^{2}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         Таким образом, результат будет: $12016296386718750 x^{3}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int - 6008148193359375 x\, dx = - 6008148193359375 \int x\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{6008148193359375 x^{2}}{2}$

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int 476837158203125\, dx = 476837158203125 x$

      Результат есть: $- \frac{10460353203 x^{22}}{22} + 17433922005 x^{21} - \frac{610187270175 x^{20}}{2} + 3389929278750 x^{19} - \frac{53673880246875 x^{18}}{2} + 161021640740625 x^{17} - \frac{1520759940328125 x^{16}}{2} + 2896685600625000 x^{15} - 9052142501953125 x^{14} + 23468517597656250 x^{13} - 50848454794921875 x^{12} + \frac{1016969095898437500 x^{11}}{11} - 141245707763671875 x^{10} + 181084240722656250 x^{9} - 194018829345703125 x^{8} + 172461181640625000 x^{7} - \frac{251505889892578125 x^{6}}{2} + 73972320556640625 x^{5} - \frac{68492889404296875 x^{4}}{2} + 12016296386718750 x^{3} - \frac{6008148193359375 x^{2}}{2} + 476837158203125 x$

2. Теперь упростить:

   $- \frac{1}{66} \left(3 x - 5\right)^{22}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $- \frac{1}{66} \left(3 x - 5\right)^{22}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$- \frac{1}{66} \left(3 x - 5\right)^{22}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                                 
  /                                 
 |                                  
 |           21      794728595607107
 |  (5 - 3*x)   dx = ---------------
 |                          22      
/                                   
0                                   

$${{794728595607107}\over{22}}$$

Численный ответ

36124027073050.3

Ответ (Неопределённый)

  /                                
 |                               22
 |          21          (5 - 3*x)  
 | (5 - 3*x)   dx = C - -----------
 |                           66    
/                                  

$$-{{\left(5-3\,x\right)^{22}}\over{66}}$$