Интеграл (5*t-1)^4 (dx)

Вы ввели

  1              
  /              
 |               
 |           4   
 |  (5*t - 1)  dt
 |               
/                
0                

$$\int\limits_{0}^{1} \left(5 t - 1\right)^{4}\, dt$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = 5 t - 1$.

      Тогда пусть $du = 5 dt$ и подставим $\frac{du}{5}$:

      $\int \frac{u^{4}}{25}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{u^{4}}{5}\, du = \frac{\int u^{4}\, du}{5}$

         1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{u^{5}}{25}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $\frac{\left(5 t - 1\right)^{5}}{25}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\left(5 t - 1\right)^{4} = 625 t^{4} - 500 t^{3} + 150 t^{2} - 20 t + 1$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 625 t^{4}\, dt = 625 \int t^{4}\, dt$

         1. Интеграл $t^{n}$ есть $\frac{t^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int t^{4}\, dt = \frac{t^{5}}{5}$

         Таким образом, результат будет: $125 t^{5}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- 500 t^{3}\right)\, dt = - 500 \int t^{3}\, dt$

         1. Интеграл $t^{n}$ есть $\frac{t^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int t^{3}\, dt = \frac{t^{4}}{4}$

         Таким образом, результат будет: $- 125 t^{4}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 150 t^{2}\, dt = 150 \int t^{2}\, dt$

         1. Интеграл $t^{n}$ есть $\frac{t^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int t^{2}\, dt = \frac{t^{3}}{3}$

         Таким образом, результат будет: $50 t^{3}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- 20 t\right)\, dt = - 20 \int t\, dt$

         1. Интеграл $t^{n}$ есть $\frac{t^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int t\, dt = \frac{t^{2}}{2}$

         Таким образом, результат будет: $- 10 t^{2}$

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int 1\, dt = t$

      Результат есть: $125 t^{5} - 125 t^{4} + 50 t^{3} - 10 t^{2} + t$

2. Теперь упростить:

   $\frac{\left(5 t - 1\right)^{5}}{25}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{\left(5 t - 1\right)^{5}}{25}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{\left(5 t - 1\right)^{5}}{25}+ \mathrm{constant}$

Ответ

41

$$41$$

=

=

41

$$41$$

Численный ответ

41.0

Ответ (Неопределённый)

  /                              
 |                              5
 |          4          (5*t - 1) 
 | (5*t - 1)  dt = C + ----------
 |                         25    
/                                

$$\int \left(5 t - 1\right)^{4}\, dt = C + \frac{\left(5 t - 1\right)^{5}}{25}$$

График