Интеграл (5*x+3)^30 (dx)

Вы ввели

  1               
  /               
 |                
 |           30   
 |  (5*x + 3)   dx
 |                
/                 
0                 

$$\int_{0}^{1} \left(5 x + 3\right)^{30}\, dx$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = 5 x + 3$.

      Тогда пусть $du = 5 dx$ и подставим $\frac{du}{5}$:

      $\int u^{30}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int u^{30}\, du = \frac{1}{5} \int u^{30}\, du$

         1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int u^{30}\, du = \frac{u^{31}}{31}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{u^{31}}{155}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $\frac{1}{155} \left(5 x + 3\right)^{31}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\left(5 x + 3\right)^{30} = 931322574615478515625 x^{30} + 16763806343078613281250 x^{29} + 145845115184783935546875 x^{28} + 816732645034790039062500 x^{27} + 3307767212390899658203125 x^{26} + 10320233702659606933593750 x^{25} + 25800584256649017333984375 x^{24} + 53075487613677978515625000 x^{23} + 91555216133594512939453125 x^{22} + 134280983662605285644531250 x^{21} + 169194039414882659912109375 x^{20} + 184575315725326538085937500 x^{19} + 175346549939060211181640625 x^{18} + 145672518410911560058593750 x^{17} + 106132834842235565185546875 x^{16} + 67925014299030761718750000 x^{15} + 38207820543204803466796875 x^{14} + 18879158386054138183593750 x^{13} + 8180968633956793212890625 x^{12} + 3100156534973100585937500 x^{11} + 1023051656541123193359375 x^{10} + 292300473297463769531250 x^{9} + 71746479809377470703125 x^{8} + 14973178395000515625000 x^{7} + 2620306219125090234375 x^{6} + 377324095554012993750 x^{5} + 43537395640847653125 x^{4} + 3869990723630902500 x^{3} + 248785117947700875 x^{2} + 10294556604732450 x + 205891132094649$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 931322574615478515625 x^{30}\, dx = 931322574615478515625 \int x^{30}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{30}\, dx = \frac{x^{31}}{31}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{931322574615478515625 x^{31}}{31}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 16763806343078613281250 x^{29}\, dx = 16763806343078613281250 \int x^{29}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{29}\, dx = \frac{x^{30}}{30}$

         Таким образом, результат будет: $558793544769287109375 x^{30}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 145845115184783935546875 x^{28}\, dx = 145845115184783935546875 \int x^{28}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{28}\, dx = \frac{x^{29}}{29}$

         Таким образом, результат будет: $5029141902923583984375 x^{29}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 816732645034790039062500 x^{27}\, dx = 816732645034790039062500 \int x^{27}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{27}\, dx = \frac{x^{28}}{28}$

         Таким образом, результат будет: $29169023036956787109375 x^{28}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 3307767212390899658203125 x^{26}\, dx = 3307767212390899658203125 \int x^{26}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{26}\, dx = \frac{x^{27}}{27}$

         Таким образом, результат будет: $122509896755218505859375 x^{27}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 10320233702659606933593750 x^{25}\, dx = 10320233702659606933593750 \int x^{25}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{25}\, dx = \frac{x^{26}}{26}$

         Таким образом, результат будет: $396932065486907958984375 x^{26}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 25800584256649017333984375 x^{24}\, dx = 25800584256649017333984375 \int x^{24}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{24}\, dx = \frac{x^{25}}{25}$

         Таким образом, результат будет: $1032023370265960693359375 x^{25}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 53075487613677978515625000 x^{23}\, dx = 53075487613677978515625000 \int x^{23}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{23}\, dx = \frac{x^{24}}{24}$

         Таким образом, результат будет: $2211478650569915771484375 x^{24}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 91555216133594512939453125 x^{22}\, dx = 91555216133594512939453125 \int x^{22}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{22}\, dx = \frac{x^{23}}{23}$

         Таким образом, результат будет: $3980661571025848388671875 x^{23}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 134280983662605285644531250 x^{21}\, dx = 134280983662605285644531250 \int x^{21}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{21}\, dx = \frac{x^{22}}{22}$

         Таким образом, результат будет: $6103681075572967529296875 x^{22}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 169194039414882659912109375 x^{20}\, dx = 169194039414882659912109375 \int x^{20}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{20}\, dx = \frac{x^{21}}{21}$

         Таким образом, результат будет: $8056859019756317138671875 x^{21}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 184575315725326538085937500 x^{19}\, dx = 184575315725326538085937500 \int x^{19}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{19}\, dx = \frac{x^{20}}{20}$

         Таким образом, результат будет: $9228765786266326904296875 x^{20}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 175346549939060211181640625 x^{18}\, dx = 175346549939060211181640625 \int x^{18}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{18}\, dx = \frac{x^{19}}{19}$

         Таким образом, результат будет: $9228765786266326904296875 x^{19}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 145672518410911560058593750 x^{17}\, dx = 145672518410911560058593750 \int x^{17}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{17}\, dx = \frac{x^{18}}{18}$

         Таким образом, результат будет: $8092917689495086669921875 x^{18}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 106132834842235565185546875 x^{16}\, dx = 106132834842235565185546875 \int x^{16}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{16}\, dx = \frac{x^{17}}{17}$

         Таким образом, результат будет: $6243107931896209716796875 x^{17}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 67925014299030761718750000 x^{15}\, dx = 67925014299030761718750000 \int x^{15}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{15}\, dx = \frac{x^{16}}{16}$

         Таким образом, результат будет: $4245313393689422607421875 x^{16}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 38207820543204803466796875 x^{14}\, dx = 38207820543204803466796875 \int x^{14}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{14}\, dx = \frac{x^{15}}{15}$

         Таким образом, результат будет: $2547188036213653564453125 x^{15}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 18879158386054138183593750 x^{13}\, dx = 18879158386054138183593750 \int x^{13}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{13}\, dx = \frac{x^{14}}{14}$

         Таким образом, результат будет: $1348511313289581298828125 x^{14}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 8180968633956793212890625 x^{12}\, dx = 8180968633956793212890625 \int x^{12}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{12}\, dx = \frac{x^{13}}{13}$

         Таким образом, результат будет: $629305279535137939453125 x^{13}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 3100156534973100585937500 x^{11}\, dx = 3100156534973100585937500 \int x^{11}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{11}\, dx = \frac{x^{12}}{12}$

         Таким образом, результат будет: $258346377914425048828125 x^{12}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 1023051656541123193359375 x^{10}\, dx = 1023051656541123193359375 \int x^{10}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{10}\, dx = \frac{x^{11}}{11}$

         Таким образом, результат будет: $93004696049193017578125 x^{11}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 292300473297463769531250 x^{9}\, dx = 292300473297463769531250 \int x^{9}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{9}\, dx = \frac{x^{10}}{10}$

         Таким образом, результат будет: $29230047329746376953125 x^{10}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 71746479809377470703125 x^{8}\, dx = 71746479809377470703125 \int x^{8}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{8}\, dx = \frac{x^{9}}{9}$

         Таким образом, результат будет: $7971831089930830078125 x^{9}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 14973178395000515625000 x^{7}\, dx = 14973178395000515625000 \int x^{7}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{7}\, dx = \frac{x^{8}}{8}$

         Таким образом, результат будет: $1871647299375064453125 x^{8}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 2620306219125090234375 x^{6}\, dx = 2620306219125090234375 \int x^{6}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{6}\, dx = \frac{x^{7}}{7}$

         Таким образом, результат будет: $374329459875012890625 x^{7}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 377324095554012993750 x^{5}\, dx = 377324095554012993750 \int x^{5}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{5}\, dx = \frac{x^{6}}{6}$

         Таким образом, результат будет: $62887349259002165625 x^{6}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 43537395640847653125 x^{4}\, dx = 43537395640847653125 \int x^{4}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{4}\, dx = \frac{x^{5}}{5}$

         Таким образом, результат будет: $8707479128169530625 x^{5}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 3869990723630902500 x^{3}\, dx = 3869990723630902500 \int x^{3}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

         Таким образом, результат будет: $967497680907725625 x^{4}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 248785117947700875 x^{2}\, dx = 248785117947700875 \int x^{2}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         Таким образом, результат будет: $82928372649233625 x^{3}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 10294556604732450 x\, dx = 10294556604732450 \int x\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Таким образом, результат будет: $5147278302366225 x^{2}$

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int 205891132094649\, dx = 205891132094649 x$

      Результат есть: $\frac{931322574615478515625 x^{31}}{31} + 558793544769287109375 x^{30} + 5029141902923583984375 x^{29} + 29169023036956787109375 x^{28} + 122509896755218505859375 x^{27} + 396932065486907958984375 x^{26} + 1032023370265960693359375 x^{25} + 2211478650569915771484375 x^{24} + 3980661571025848388671875 x^{23} + 6103681075572967529296875 x^{22} + 8056859019756317138671875 x^{21} + 9228765786266326904296875 x^{20} + 9228765786266326904296875 x^{19} + 8092917689495086669921875 x^{18} + 6243107931896209716796875 x^{17} + 4245313393689422607421875 x^{16} + 2547188036213653564453125 x^{15} + 1348511313289581298828125 x^{14} + 629305279535137939453125 x^{13} + 258346377914425048828125 x^{12} + 93004696049193017578125 x^{11} + 29230047329746376953125 x^{10} + 7971831089930830078125 x^{9} + 1871647299375064453125 x^{8} + 374329459875012890625 x^{7} + 62887349259002165625 x^{6} + 8707479128169530625 x^{5} + 967497680907725625 x^{4} + 82928372649233625 x^{3} + 5147278302366225 x^{2} + 205891132094649 x$

2. Теперь упростить:

   $\frac{1}{155} \left(5 x + 3\right)^{31}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{1}{155} \left(5 x + 3\right)^{31}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{1}{155} \left(5 x + 3\right)^{31}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                                              
  /                                              
 |                                               
 |           30      1980704062856484905159341969
 |  (5*x + 3)   dx = ----------------------------
 |                                31             
/                                                
0                                                

$${{1980704062856484905159341969}\over{31}}$$

Численный ответ

6.38936794469834e+25

Ответ (Неопределённый)

  /                                
 |                               31
 |          30          (5*x + 3)  
 | (5*x + 3)   dx = C + -----------
 |                          155    
/                                  

$${{\left(5\,x+3\right)^{31}}\over{155}}$$