Интеграл 5^(-6*x+3) (dx)

Вы ввели

  1             
  /             
 |              
 |   -6*x + 3   
 |  5         dx
 |              
/               
0               

$$\int_{0}^{1} 5^{- 6 x + 3}\, dx$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = - 6 x + 3$.

      Тогда пусть $du = - 6 dx$ и подставим $- \frac{du}{6}$:

      $\int 5^{u}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 5^{u}\, du = - \frac{1}{6} \int 5^{u}\, du$

         1. Интеграл экспоненциальной функции равен ему же, деленному на натуральный логарифм основания.

            $\int 5^{u}\, du = \frac{5^{u}}{\log{\left (5 \right )}}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{5^{u}}{6 \log{\left (5 \right )}}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $- \frac{5^{- 6 x + 3}}{6 \log{\left (5 \right )}}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $5^{- 6 x + 3} = 125 \cdot 5^{- 6 x}$

   2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int 125 \cdot 5^{- 6 x}\, dx = 125 \int 5^{- 6 x}\, dx$

      1. пусть $u = - 6 x$.

         Тогда пусть $du = - 6 dx$ и подставим $- \frac{du}{6}$:

         $\int 5^{u}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int 5^{u}\, du = - \frac{1}{6} \int 5^{u}\, du$

            1. Интеграл экспоненциальной функции равен ему же, деленному на натуральный логарифм основания.

               $\int 5^{u}\, du = \frac{5^{u}}{\log{\left (5 \right )}}$

            Таким образом, результат будет: $- \frac{5^{u}}{6 \log{\left (5 \right )}}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $- \frac{5^{- 6 x}}{6 \log{\left (5 \right )}}$

      Таким образом, результат будет: $- \frac{125 \cdot 5^{- 6 x}}{6 \log{\left (5 \right )}}$

2. Теперь упростить:

   $- \frac{125 \cdot 15625^{- x}}{6 \log{\left (5 \right )}}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $- \frac{125 \cdot 15625^{- x}}{6 \log{\left (5 \right )}}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$- \frac{125 \cdot 15625^{- x}}{6 \log{\left (5 \right )}}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                          
  /                          
 |                           
 |   -6*x + 3         2604   
 |  5         dx = ----------
 |                 125*log(5)
/                            
0                            

$${{2604}\over{125\,\log 5}}$$

Численный ответ

12.9436493567458

Ответ (Неопределённый)

  /                            
 |                     -6*x + 3
 |  -6*x + 3          5        
 | 5         dx = C - ---------
 |                     6*log(5)
/                              

$$-{{5^{3-6\,x}}\over{6\,\log 5}}$$