Интеграл 5^(5*x+2) (dx)

Вы ввели

  1            
  /            
 |             
 |   5*x + 2   
 |  5        dx
 |             
/              
0              

$$\int_{0}^{1} 5^{5 x + 2}\, dx$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = 5 x + 2$.

      Тогда пусть $du = 5 dx$ и подставим $\frac{du}{5}$:

      $\int 5^{u}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 5^{u}\, du = \frac{1}{5} \int 5^{u}\, du$

         1. Интеграл экспоненциальной функции равен ему же, деленному на натуральный логарифм основания.

            $\int 5^{u}\, du = \frac{5^{u}}{\log{\left (5 \right )}}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{5^{u}}{5 \log{\left (5 \right )}}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $\frac{5^{5 x + 2}}{5 \log{\left (5 \right )}}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $5^{5 x + 2} = 25 \cdot 5^{5 x}$

   2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int 25 \cdot 5^{5 x}\, dx = 25 \int 5^{5 x}\, dx$

      1. пусть $u = 5 x$.

         Тогда пусть $du = 5 dx$ и подставим $\frac{du}{5}$:

         $\int 5^{u}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int 5^{u}\, du = \frac{1}{5} \int 5^{u}\, du$

            1. Интеграл экспоненциальной функции равен ему же, деленному на натуральный логарифм основания.

               $\int 5^{u}\, du = \frac{5^{u}}{\log{\left (5 \right )}}$

            Таким образом, результат будет: $\frac{5^{u}}{5 \log{\left (5 \right )}}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\frac{5^{5 x}}{5 \log{\left (5 \right )}}$

      Таким образом, результат будет: $\frac{5 \cdot 5^{5 x}}{\log{\left (5 \right )}}$

2. Теперь упростить:

   $\frac{5^{5 x + 1}}{\log{\left (5 \right )}}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{5^{5 x + 1}}{\log{\left (5 \right )}}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{5^{5 x + 1}}{\log{\left (5 \right )}}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                     
  /                     
 |                      
 |   5*x + 2      15620 
 |  5        dx = ------
 |                log(5)
/                       
0                       

$${{15620}\over{\log 5}}$$

Численный ответ

9705.25167782114

Ответ (Неопределённый)

  /                          
 |                    5*x + 2
 |  5*x + 2          5       
 | 5        dx = C + --------
 |                   5*log(5)
/                            

$${{5^{5\,x+1}}\over{\log 5}}$$