Интеграл 5^(3*x-2) (dx)

Вы ввели

  1            
  /            
 |             
 |   3*x - 2   
 |  5        dx
 |             
/              
0              

$$\int_{0}^{1} 5^{3 x - 2}\, dx$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = 3 x - 2$.

      Тогда пусть $du = 3 dx$ и подставим $\frac{du}{3}$:

      $\int 5^{u}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 5^{u}\, du = \frac{1}{3} \int 5^{u}\, du$

         1. Интеграл экспоненциальной функции равен ему же, деленному на натуральный логарифм основания.

            $\int 5^{u}\, du = \frac{5^{u}}{\log{\left (5 \right )}}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{5^{u}}{3 \log{\left (5 \right )}}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $\frac{5^{3 x - 2}}{3 \log{\left (5 \right )}}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $5^{3 x - 2} = \frac{5^{3 x}}{25}$

   2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int \frac{5^{3 x}}{25}\, dx = \frac{1}{25} \int 5^{3 x}\, dx$

      1. пусть $u = 3 x$.

         Тогда пусть $du = 3 dx$ и подставим $\frac{du}{3}$:

         $\int 5^{u}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int 5^{u}\, du = \frac{1}{3} \int 5^{u}\, du$

            1. Интеграл экспоненциальной функции равен ему же, деленному на натуральный логарифм основания.

               $\int 5^{u}\, du = \frac{5^{u}}{\log{\left (5 \right )}}$

            Таким образом, результат будет: $\frac{5^{u}}{3 \log{\left (5 \right )}}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\frac{5^{3 x}}{3 \log{\left (5 \right )}}$

      Таким образом, результат будет: $\frac{5^{3 x}}{75 \log{\left (5 \right )}}$

2. Теперь упростить:

   $\frac{5^{3 x}}{75 \log{\left (5 \right )}}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{5^{3 x}}{75 \log{\left (5 \right )}}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{5^{3 x}}{75 \log{\left (5 \right )}}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                        
  /                        
 |                         
 |   3*x - 2         124   
 |  5        dx = ---------
 |                75*log(5)
/                          
0                          

$${{124}\over{75\,\log 5}}$$

Численный ответ

1.02727375847189

Ответ (Неопределённый)

  /                          
 |                    3*x - 2
 |  3*x - 2          5       
 | 5        dx = C + --------
 |                   3*log(5)
/                            

$${{5^{3\,x-2}}\over{3\,\log 5}}$$