Интеграл (7-3*x)^21 (dx)

Вы ввели

  1               
  /               
 |                
 |           21   
 |  (7 - 3*x)   dx
 |                
/                 
0                 

$$\int\limits_{0}^{1} \left(7 - 3 x\right)^{21}\, dx$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = 7 - 3 x$.

      Тогда пусть $du = - 3 dx$ и подставим $- \frac{du}{3}$:

      $\int \frac{u^{21}}{9}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- \frac{u^{21}}{3}\right)\, du = - \frac{\int u^{21}\, du}{3}$

         1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int u^{21}\, du = \frac{u^{22}}{22}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{22}}{66}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $- \frac{\left(7 - 3 x\right)^{22}}{66}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\left(7 - 3 x\right)^{21} = - 10460353203 x^{21} + 512557306947 x^{20} - 11959670495430 x^{19} + 176737352876910 x^{18} - 1855742205207555 x^{17} + 14722221494646603 x^{16} - 91604933744467752 x^{15} + 458024668722338760 x^{14} - 1870267397282883270 x^{13} + 6303493820471939910 x^{12} - 17649782697321431748 x^{11} + 41182826293750007412 x^{10} - 80077717793402792190 x^{9} + 129356313358573741230 x^{8} - 172475084478098321640 x^{7} + 187806203098373728008 x^{6} - 164330427711077012007 x^{5} + 112775783723288145495 x^{4} - 58476332300964223590 x^{3} + 21543911900355240270 x^{2} - 5026912776749556063 x + 558545864083284007$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- 10460353203 x^{21}\right)\, dx = - 10460353203 \int x^{21}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{21}\, dx = \frac{x^{22}}{22}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{10460353203 x^{22}}{22}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 512557306947 x^{20}\, dx = 512557306947 \int x^{20}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{20}\, dx = \frac{x^{21}}{21}$

         Таким образом, результат будет: $24407490807 x^{21}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- 11959670495430 x^{19}\right)\, dx = - 11959670495430 \int x^{19}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{19}\, dx = \frac{x^{20}}{20}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{1195967049543 x^{20}}{2}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 176737352876910 x^{18}\, dx = 176737352876910 \int x^{18}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{18}\, dx = \frac{x^{19}}{19}$

         Таким образом, результат будет: $9301965940890 x^{19}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- 1855742205207555 x^{17}\right)\, dx = - 1855742205207555 \int x^{17}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{17}\, dx = \frac{x^{18}}{18}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{206193578356395 x^{18}}{2}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 14722221494646603 x^{16}\, dx = 14722221494646603 \int x^{16}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{16}\, dx = \frac{x^{17}}{17}$

         Таким образом, результат будет: $866013029096859 x^{17}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- 91604933744467752 x^{15}\right)\, dx = - 91604933744467752 \int x^{15}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{15}\, dx = \frac{x^{16}}{16}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{11450616718058469 x^{16}}{2}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 458024668722338760 x^{14}\, dx = 458024668722338760 \int x^{14}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{14}\, dx = \frac{x^{15}}{15}$

         Таким образом, результат будет: $30534977914822584 x^{15}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- 1870267397282883270 x^{13}\right)\, dx = - 1870267397282883270 \int x^{13}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{13}\, dx = \frac{x^{14}}{14}$

         Таким образом, результат будет: $- 133590528377348805 x^{14}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 6303493820471939910 x^{12}\, dx = 6303493820471939910 \int x^{12}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{12}\, dx = \frac{x^{13}}{13}$

         Таким образом, результат будет: $484884140036303070 x^{13}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- 17649782697321431748 x^{11}\right)\, dx = - 17649782697321431748 \int x^{11}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{11}\, dx = \frac{x^{12}}{12}$

         Таким образом, результат будет: $- 1470815224776785979 x^{12}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 41182826293750007412 x^{10}\, dx = 41182826293750007412 \int x^{10}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{10}\, dx = \frac{x^{11}}{11}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{41182826293750007412 x^{11}}{11}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- 80077717793402792190 x^{9}\right)\, dx = - 80077717793402792190 \int x^{9}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{9}\, dx = \frac{x^{10}}{10}$

         Таким образом, результат будет: $- 8007771779340279219 x^{10}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 129356313358573741230 x^{8}\, dx = 129356313358573741230 \int x^{8}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{8}\, dx = \frac{x^{9}}{9}$

         Таким образом, результат будет: $14372923706508193470 x^{9}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- 172475084478098321640 x^{7}\right)\, dx = - 172475084478098321640 \int x^{7}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{7}\, dx = \frac{x^{8}}{8}$

         Таким образом, результат будет: $- 21559385559762290205 x^{8}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 187806203098373728008 x^{6}\, dx = 187806203098373728008 \int x^{6}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{6}\, dx = \frac{x^{7}}{7}$

         Таким образом, результат будет: $26829457585481961144 x^{7}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- 164330427711077012007 x^{5}\right)\, dx = - 164330427711077012007 \int x^{5}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{5}\, dx = \frac{x^{6}}{6}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{54776809237025670669 x^{6}}{2}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 112775783723288145495 x^{4}\, dx = 112775783723288145495 \int x^{4}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{4}\, dx = \frac{x^{5}}{5}$

         Таким образом, результат будет: $22555156744657629099 x^{5}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- 58476332300964223590 x^{3}\right)\, dx = - 58476332300964223590 \int x^{3}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{29238166150482111795 x^{4}}{2}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 21543911900355240270 x^{2}\, dx = 21543911900355240270 \int x^{2}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         Таким образом, результат будет: $7181303966785080090 x^{3}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- 5026912776749556063 x\right)\, dx = - 5026912776749556063 \int x\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{5026912776749556063 x^{2}}{2}$

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int 558545864083284007\, dx = 558545864083284007 x$

      Результат есть: $- \frac{10460353203 x^{22}}{22} + 24407490807 x^{21} - \frac{1195967049543 x^{20}}{2} + 9301965940890 x^{19} - \frac{206193578356395 x^{18}}{2} + 866013029096859 x^{17} - \frac{11450616718058469 x^{16}}{2} + 30534977914822584 x^{15} - 133590528377348805 x^{14} + 484884140036303070 x^{13} - 1470815224776785979 x^{12} + \frac{41182826293750007412 x^{11}}{11} - 8007771779340279219 x^{10} + 14372923706508193470 x^{9} - 21559385559762290205 x^{8} + 26829457585481961144 x^{7} - \frac{54776809237025670669 x^{6}}{2} + 22555156744657629099 x^{5} - \frac{29238166150482111795 x^{4}}{2} + 7181303966785080090 x^{3} - \frac{5026912776749556063 x^{2}}{2} + 558545864083284007 x$

2. Теперь упростить:

   $- \frac{\left(3 x - 7\right)^{22}}{66}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $- \frac{\left(3 x - 7\right)^{22}}{66}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$- \frac{\left(3 x - 7\right)^{22}}{66}+ \mathrm{constant}$

Ответ

118478892618089201/2

$$\frac{118478892618089201}{2}$$

=

=

118478892618089201/2

$$\frac{118478892618089201}{2}$$

Численный ответ

5.92394463090446e+16

Ответ (Неопределённый)

  /                                
 |                               22
 |          21          (7 - 3*x)  
 | (7 - 3*x)   dx = C - -----------
 |                           66    
/                                  

$$\int \left(7 - 3 x\right)^{21}\, dx = C - \frac{\left(7 - 3 x\right)^{22}}{66}$$

График