Интеграл (7-3*x)^23 (dx)

Вы ввели

  1               
  /               
 |                
 |           23   
 |  (7 - 3*x)   dx
 |                
/                 
0                 

$$\int_{0}^{1} \left(- 3 x + 7\right)^{23}\, dx$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = - 3 x + 7$.

      Тогда пусть $du = - 3 dx$ и подставим $- \frac{du}{3}$:

      $\int u^{23}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int u^{23}\, du = - \frac{1}{3} \int u^{23}\, du$

         1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int u^{23}\, du = \frac{u^{24}}{24}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{24}}{72}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $- \frac{1}{72} \left(- 3 x + 7\right)^{24}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\left(- 3 x + 7\right)^{23} = - 94143178827 x^{23} + 5052350597049 x^{22} - 129676998657591 x^{21} + 2118057644740653 x^{20} - 24710672521974285 x^{19} + 219101296361505327 x^{18} - 1533709074530537289 x^{17} + 8691018089006377971 x^{16} - 40558084415363097198 x^{15} + 157725883837523155770 x^{14} - 515237887202575642182 x^{13} + 1420807507134375255714 x^{12} - 3315217516646875596666 x^{11} + 6545429455943831306238 x^{10} - 10909049093239718843730 x^{9} + 15272668730535606381222 x^{8} - 17818113518958207444759 x^{7} + 17119363969195140486141 x^{6} - 13315060864929553711443 x^{5} + 8175914566184813682465 x^{4} - 3815426797552913051817 x^{3} + 1271808932517637683939 x^{2} - 269777652352226175381 x + 27368747340080916343$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int - 94143178827 x^{23}\, dx = - 94143178827 \int x^{23}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{23}\, dx = \frac{x^{24}}{24}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{31381059609 x^{24}}{8}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 5052350597049 x^{22}\, dx = 5052350597049 \int x^{22}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{22}\, dx = \frac{x^{23}}{23}$

         Таким образом, результат будет: $219667417263 x^{23}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int - 129676998657591 x^{21}\, dx = - 129676998657591 \int x^{21}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{21}\, dx = \frac{x^{22}}{22}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{11788818059781 x^{22}}{2}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 2118057644740653 x^{20}\, dx = 2118057644740653 \int x^{20}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{20}\, dx = \frac{x^{21}}{21}$

         Таким образом, результат будет: $100859887844793 x^{21}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int - 24710672521974285 x^{19}\, dx = - 24710672521974285 \int x^{19}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{19}\, dx = \frac{x^{20}}{20}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{4942134504394857 x^{20}}{4}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 219101296361505327 x^{18}\, dx = 219101296361505327 \int x^{18}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{18}\, dx = \frac{x^{19}}{19}$

         Таким образом, результат будет: $11531647176921333 x^{19}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int - 1533709074530537289 x^{17}\, dx = - 1533709074530537289 \int x^{17}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{17}\, dx = \frac{x^{18}}{18}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{170412119392281921 x^{18}}{2}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 8691018089006377971 x^{16}\, dx = 8691018089006377971 \int x^{16}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{16}\, dx = \frac{x^{17}}{17}$

         Таким образом, результат будет: $511236358176845763 x^{17}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int - 40558084415363097198 x^{15}\, dx = - 40558084415363097198 \int x^{15}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{15}\, dx = \frac{x^{16}}{16}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{20279042207681548599 x^{16}}{8}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 157725883837523155770 x^{14}\, dx = 157725883837523155770 \int x^{14}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{14}\, dx = \frac{x^{15}}{15}$

         Таким образом, результат будет: $10515058922501543718 x^{15}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int - 515237887202575642182 x^{13}\, dx = - 515237887202575642182 \int x^{13}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{13}\, dx = \frac{x^{14}}{14}$

         Таким образом, результат будет: $- 36802706228755403013 x^{14}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 1420807507134375255714 x^{12}\, dx = 1420807507134375255714 \int x^{12}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{12}\, dx = \frac{x^{13}}{13}$

         Таким образом, результат будет: $109292885164182711978 x^{13}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int - 3315217516646875596666 x^{11}\, dx = - 3315217516646875596666 \int x^{11}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{11}\, dx = \frac{x^{12}}{12}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{552536252774479266111 x^{12}}{2}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 6545429455943831306238 x^{10}\, dx = 6545429455943831306238 \int x^{10}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{10}\, dx = \frac{x^{11}}{11}$

         Таким образом, результат будет: $595039041449439209658 x^{11}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int - 10909049093239718843730 x^{9}\, dx = - 10909049093239718843730 \int x^{9}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{9}\, dx = \frac{x^{10}}{10}$

         Таким образом, результат будет: $- 1090904909323971884373 x^{10}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 15272668730535606381222 x^{8}\, dx = 15272668730535606381222 \int x^{8}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{8}\, dx = \frac{x^{9}}{9}$

         Таким образом, результат будет: $1696963192281734042358 x^{9}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int - 17818113518958207444759 x^{7}\, dx = - 17818113518958207444759 \int x^{7}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{7}\, dx = \frac{x^{8}}{8}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{17818113518958207444759 x^{8}}{8}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 17119363969195140486141 x^{6}\, dx = 17119363969195140486141 \int x^{6}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{6}\, dx = \frac{x^{7}}{7}$

         Таким образом, результат будет: $2445623424170734355163 x^{7}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int - 13315060864929553711443 x^{5}\, dx = - 13315060864929553711443 \int x^{5}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{5}\, dx = \frac{x^{6}}{6}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{4438353621643184570481 x^{6}}{2}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 8175914566184813682465 x^{4}\, dx = 8175914566184813682465 \int x^{4}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{4}\, dx = \frac{x^{5}}{5}$

         Таким образом, результат будет: $1635182913236962736493 x^{5}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int - 3815426797552913051817 x^{3}\, dx = - 3815426797552913051817 \int x^{3}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{3815426797552913051817 x^{4}}{4}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 1271808932517637683939 x^{2}\, dx = 1271808932517637683939 \int x^{2}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         Таким образом, результат будет: $423936310839212561313 x^{3}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int - 269777652352226175381 x\, dx = - 269777652352226175381 \int x\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{269777652352226175381 x^{2}}{2}$

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int 27368747340080916343\, dx = 27368747340080916343 x$

      Результат есть: $- \frac{31381059609 x^{24}}{8} + 219667417263 x^{23} - \frac{11788818059781 x^{22}}{2} + 100859887844793 x^{21} - \frac{4942134504394857 x^{20}}{4} + 11531647176921333 x^{19} - \frac{170412119392281921 x^{18}}{2} + 511236358176845763 x^{17} - \frac{20279042207681548599 x^{16}}{8} + 10515058922501543718 x^{15} - 36802706228755403013 x^{14} + 109292885164182711978 x^{13} - \frac{552536252774479266111 x^{12}}{2} + 595039041449439209658 x^{11} - 1090904909323971884373 x^{10} + 1696963192281734042358 x^{9} - \frac{17818113518958207444759 x^{8}}{8} + 2445623424170734355163 x^{7} - \frac{4438353621643184570481 x^{6}}{2} + 1635182913236962736493 x^{5} - \frac{3815426797552913051817 x^{4}}{4} + 423936310839212561313 x^{3} - \frac{269777652352226175381 x^{2}}{2} + 27368747340080916343 x$

2. Теперь упростить:

   $- \frac{1}{72} \left(3 x - 7\right)^{24}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $- \frac{1}{72} \left(3 x - 7\right)^{24}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$- \frac{1}{72} \left(3 x - 7\right)^{24}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                                        
  /                                        
 |                                         
 |           23                            
 |  (7 - 3*x)   dx = 21286772211732189305/8
 |                                         
/                                          
0                                          

$${{21286772211732189305}\over{8}}$$

Численный ответ

2.66084652646652e+18

Ответ (Неопределённый)

  /                                
 |                               24
 |          23          (7 - 3*x)  
 | (7 - 3*x)   dx = C - -----------
 |                           72    
/                                  

$$-{{\left(7-3\,x\right)^{24}}\over{72}}$$