Интеграл (6-2*x)^3 (dx)

Преподаватель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

d

↑ Введите нижнюю границу интеграла и верхнюю границу интеграла b, подинтегральную функцию f(x) - смотрите пример

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

    Решение

    Вы ввели [src]
      1              
      /              
     |               
     |           3   
     |  (6 - 2*x)  dx
     |               
    /                
    0                
    01(62x)3dx\int\limits_{0}^{1} \left(6 - 2 x\right)^{3}\, dx
    Подробное решение
    1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

      Метод #1

      1. пусть u=62xu = 6 - 2 x.

        Тогда пусть du=2dxdu = - 2 dx и подставим du2- \frac{du}{2}:

        u34du\int \frac{u^{3}}{4}\, du

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          (u32)du=u3du2\int \left(- \frac{u^{3}}{2}\right)\, du = - \frac{\int u^{3}\, du}{2}

          1. Интеграл unu^{n} есть un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} когда n1n \neq -1:

            u3du=u44\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}

          Таким образом, результат будет: u48- \frac{u^{4}}{8}

        Если сейчас заменить uu ещё в:

        (62x)48- \frac{\left(6 - 2 x\right)^{4}}{8}

      Метод #2

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

        (62x)3=8x3+72x2216x+216\left(6 - 2 x\right)^{3} = - 8 x^{3} + 72 x^{2} - 216 x + 216

      2. Интегрируем почленно:

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          (8x3)dx=8x3dx\int \left(- 8 x^{3}\right)\, dx = - 8 \int x^{3}\, dx

          1. Интеграл xnx^{n} есть xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} когда n1n \neq -1:

            x3dx=x44\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}

          Таким образом, результат будет: 2x4- 2 x^{4}

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          72x2dx=72x2dx\int 72 x^{2}\, dx = 72 \int x^{2}\, dx

          1. Интеграл xnx^{n} есть xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} когда n1n \neq -1:

            x2dx=x33\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}

          Таким образом, результат будет: 24x324 x^{3}

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          (216x)dx=216xdx\int \left(- 216 x\right)\, dx = - 216 \int x\, dx

          1. Интеграл xnx^{n} есть xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} когда n1n \neq -1:

            xdx=x22\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}

          Таким образом, результат будет: 108x2- 108 x^{2}

        1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

          216dx=216x\int 216\, dx = 216 x

        Результат есть: 2x4+24x3108x2+216x- 2 x^{4} + 24 x^{3} - 108 x^{2} + 216 x

    2. Теперь упростить:

      2(x3)4- 2 \left(x - 3\right)^{4}

    3. Добавляем постоянную интегрирования:

      2(x3)4+constant- 2 \left(x - 3\right)^{4}+ \mathrm{constant}


    Ответ:

    2(x3)4+constant- 2 \left(x - 3\right)^{4}+ \mathrm{constant}

    График
    0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.900250
    Ответ [src]
    130
    130130
    =
    =
    130
    130130
    Численный ответ [src]
    130.0
    Ответ (Неопределённый) [src]
      /                              
     |                              4
     |          3          (6 - 2*x) 
     | (6 - 2*x)  dx = C - ----------
     |                         8     
    /                                
    (62x)3dx=C(62x)48\int \left(6 - 2 x\right)^{3}\, dx = C - \frac{\left(6 - 2 x\right)^{4}}{8}
    График
    Интеграл (6-2*x)^3 (dx) /media/krcore-image-pods/hash/indefinite/b/7d/b2b51e66c2d25e841d4bfa1edc9d8.png