Интеграл 6*(cos(x))^2 (dx)

Вы ввели

  1             
  /             
 |              
 |       2      
 |  6*cos (x) dx
 |              
/               
0               

$$\int_{0}^{1} 6 \cos^{2}{\left (x \right )}\, dx$$

Подробное решение

1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

   $\int 6 \cos^{2}{\left (x \right )}\, dx = 6 \int \cos^{2}{\left (x \right )}\, dx$

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\cos^{2}{\left (x \right )} = \frac{1}{2} \cos{\left (2 x \right )} + \frac{1}{2}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{1}{2} \cos{\left (2 x \right )}\, dx = \frac{1}{2} \int \cos{\left (2 x \right )}\, dx$

         1. пусть $u = 2 x$.

            Тогда пусть $du = 2 dx$ и подставим $\frac{du}{2}$:

            $\int \cos{\left (u \right )}\, du$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \frac{1}{2} \int \cos{\left (u \right )}\, du$

               1. Интеграл от косинуса есть синус:

                  $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \sin{\left (u \right )}$

               Таким образом, результат будет: $\frac{1}{2} \sin{\left (u \right )}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\frac{1}{2} \sin{\left (2 x \right )}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{1}{4} \sin{\left (2 x \right )}$

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$

      Результат есть: $\frac{x}{2} + \frac{1}{4} \sin{\left (2 x \right )}$

   Таким образом, результат будет: $3 x + \frac{3}{2} \sin{\left (2 x \right )}$

2. Добавляем постоянную интегрирования:

   $3 x + \frac{3}{2} \sin{\left (2 x \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$3 x + \frac{3}{2} \sin{\left (2 x \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                                   
  /                                   
 |                                    
 |       2                            
 |  6*cos (x) dx = 3 + 3*cos(1)*sin(1)
 |                                    
/                                     
0                                     

$${{3\,\left(\sin 2+2\right)}\over{2}}$$

Численный ответ

4.36394614023852

Ответ (Неопределённый)

  /                                   
 |                                    
 |      2                   3*sin(2*x)
 | 6*cos (x) dx = C + 3*x + ----------
 |                              2     
/                                     

$$3\,\left({{\sin \left(2\,x\right)}\over{2}}+x\right)$$