Интеграл (6*x+5)^11 (dx)

Вы ввели

  1               
  /               
 |                
 |           11   
 |  (6*x + 5)   dx
 |                
/                 
0                 

$$\int_{0}^{1} \left(6 x + 5\right)^{11}\, dx$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = 6 x + 5$.

      Тогда пусть $du = 6 dx$ и подставим $\frac{du}{6}$:

      $\int u^{11}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int u^{11}\, du = \frac{1}{6} \int u^{11}\, du$

         1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int u^{11}\, du = \frac{u^{12}}{12}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{u^{12}}{72}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $\frac{1}{72} \left(6 x + 5\right)^{12}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\left(6 x + 5\right)^{11} = 362797056 x^{11} + 3325639680 x^{10} + 13856832000 x^{9} + 34642080000 x^{8} + 57736800000 x^{7} + 67359600000 x^{6} + 56133000000 x^{5} + 33412500000 x^{4} + 13921875000 x^{3} + 3867187500 x^{2} + 644531250 x + 48828125$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 362797056 x^{11}\, dx = 362797056 \int x^{11}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{11}\, dx = \frac{x^{12}}{12}$

         Таким образом, результат будет: $30233088 x^{12}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 3325639680 x^{10}\, dx = 3325639680 \int x^{10}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{10}\, dx = \frac{x^{11}}{11}$

         Таким образом, результат будет: $302330880 x^{11}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 13856832000 x^{9}\, dx = 13856832000 \int x^{9}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{9}\, dx = \frac{x^{10}}{10}$

         Таким образом, результат будет: $1385683200 x^{10}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 34642080000 x^{8}\, dx = 34642080000 \int x^{8}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{8}\, dx = \frac{x^{9}}{9}$

         Таким образом, результат будет: $3849120000 x^{9}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 57736800000 x^{7}\, dx = 57736800000 \int x^{7}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{7}\, dx = \frac{x^{8}}{8}$

         Таким образом, результат будет: $7217100000 x^{8}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 67359600000 x^{6}\, dx = 67359600000 \int x^{6}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{6}\, dx = \frac{x^{7}}{7}$

         Таким образом, результат будет: $9622800000 x^{7}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 56133000000 x^{5}\, dx = 56133000000 \int x^{5}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{5}\, dx = \frac{x^{6}}{6}$

         Таким образом, результат будет: $9355500000 x^{6}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 33412500000 x^{4}\, dx = 33412500000 \int x^{4}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{4}\, dx = \frac{x^{5}}{5}$

         Таким образом, результат будет: $6682500000 x^{5}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 13921875000 x^{3}\, dx = 13921875000 \int x^{3}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

         Таким образом, результат будет: $3480468750 x^{4}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 3867187500 x^{2}\, dx = 3867187500 \int x^{2}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         Таким образом, результат будет: $1289062500 x^{3}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 644531250 x\, dx = 644531250 \int x\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Таким образом, результат будет: $322265625 x^{2}$

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int 48828125\, dx = 48828125 x$

      Результат есть: $30233088 x^{12} + 302330880 x^{11} + 1385683200 x^{10} + 3849120000 x^{9} + 7217100000 x^{8} + 9622800000 x^{7} + 9355500000 x^{6} + 6682500000 x^{5} + 3480468750 x^{4} + 1289062500 x^{3} + 322265625 x^{2} + 48828125 x$

2. Теперь упростить:

   $\frac{1}{72} \left(6 x + 5\right)^{12}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{1}{72} \left(6 x + 5\right)^{12}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{1}{72} \left(6 x + 5\right)^{12}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                             
  /                             
 |                              
 |           11                 
 |  (6*x + 5)   dx = 43585892168
 |                              
/                               
0                               

$$43585892168$$

Численный ответ

43585892168.0

Ответ (Неопределённый)

  /                                
 |                               12
 |          11          (6*x + 5)  
 | (6*x + 5)   dx = C + -----------
 |                           72    
/                                  

$${{\left(6\,x+5\right)^{12}}\over{72}}$$