Интеграл sin(4*x)^2 (dx)

Вы ввели

  1             
  /             
 |              
 |     2        
 |  sin (4*x) dx
 |              
/               
0               

$$\int\limits_{0}^{1} \sin^{2}{\left(4 x \right)}\, dx$$

Подробное решение

1. Перепишите подынтегральное выражение:

   $\sin^{2}{\left(4 x \right)} = \frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(8 x \right)}}{2}$

2. Интегрируем почленно:

   1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

      $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int \left(- \frac{\cos{\left(8 x \right)}}{2}\right)\, dx = - \frac{\int \cos{\left(8 x \right)}\, dx}{2}$

      1. пусть $u = 8 x$.

         Тогда пусть $du = 8 dx$ и подставим $\frac{du}{8}$:

         $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{64}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{8}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{8}$

            1. Интеграл от косинуса есть синус:

               $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

            Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{8}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\frac{\sin{\left(8 x \right)}}{8}$

      Таким образом, результат будет: $- \frac{\sin{\left(8 x \right)}}{16}$

   Результат есть: $\frac{x}{2} - \frac{\sin{\left(8 x \right)}}{16}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{x}{2} - \frac{\sin{\left(8 x \right)}}{16}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{x}{2} - \frac{\sin{\left(8 x \right)}}{16}+ \mathrm{constant}$

Ответ

1   cos(4)*sin(4)
- - -------------
2         8      

$$- \frac{\sin{\left(4 \right)} \cos{\left(4 \right)}}{8} + \frac{1}{2}$$

=

=

1   cos(4)*sin(4)
- - -------------
2         8      

$$- \frac{\sin{\left(4 \right)} \cos{\left(4 \right)}}{8} + \frac{1}{2}$$

Численный ответ

0.438165109586039

Ответ (Неопределённый)

  /                               
 |                                
 |    2               x   sin(8*x)
 | sin (4*x) dx = C + - - --------
 |                    2      16   
/                                 

$$\int \sin^{2}{\left(4 x \right)}\, dx = C + \frac{x}{2} - \frac{\sin{\left(8 x \right)}}{16}$$

График