Интеграл sin(2*x) (dx)

Вы ввели

  1            
  /            
 |             
 |  sin(2*x) dx
 |             
/              
0              

$$\int\limits_{0}^{1} \sin{\left(2 x \right)}\, dx$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = 2 x$.

      Тогда пусть $du = 2 dx$ и подставим $\frac{du}{2}$:

      $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{4}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{2}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{2}$

         1. Интеграл от синуса есть минус косинус:

            $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}$

   Метод #2

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int 2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx = 2 \int \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$

      1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

         Метод #1

         1. пусть $u = \cos{\left(x \right)}$.

            Тогда пусть $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ и подставим $- du$:

            $\int u\, du$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \left(- u\right)\, du = - \int u\, du$

               1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

                  $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

               Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{2}}{2}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $- \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{2}$

         Метод #2

         1. пусть $u = \sin{\left(x \right)}$.

            Тогда пусть $du = \cos{\left(x \right)} dx$ и подставим $du$:

            $\int u\, du$

            1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

               $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\frac{\sin^{2}{\left(x \right)}}{2}$

      Таким образом, результат будет: $- \cos^{2}{\left(x \right)}$

2. Добавляем постоянную интегрирования:

   $- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}+ \mathrm{constant}$

Ответ

1   cos(2)
- - ------
2     2   

$$\frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(2 \right)}}{2}$$

=

=

1   cos(2)
- - ------
2     2   

$$\frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(2 \right)}}{2}$$

Численный ответ

0.708073418273571

Ответ (Неопределённый)

  /                          
 |                   cos(2*x)
 | sin(2*x) dx = C - --------
 |                      2    
/                            

$$\int \sin{\left(2 x \right)}\, dx = C - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}$$

График