Интеграл (sin(2*x))/(sqrt(1+cos(2*x))) (dx)

Вы ввели

  1                    
  /                    
 |                     
 |      sin(2*x)       
 |  ---------------- dx
 |    ______________   
 |  \/ 1 + cos(2*x)    
 |                     
/                      
0                      

$$\int\limits_{0}^{1} \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{\sqrt{\cos{\left(2 x \right)} + 1}}\, dx$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = 2 x$.

      Тогда пусть $du = 2 dx$ и подставим $\frac{du}{2}$:

      $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{4 \sqrt{\cos{\left(u \right)} + 1}}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{2 \sqrt{\cos{\left(u \right)} + 1}}\, du = \frac{\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{\sqrt{\cos{\left(u \right)} + 1}}\, du}{2}$

         1. пусть $u = \cos{\left(u \right)} + 1$.

            Тогда пусть $du = - \sin{\left(u \right)} du$ и подставим $- du$:

            $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \left(- \frac{1}{\sqrt{u}}\right)\, du = - \int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du$

               1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

                  $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = 2 \sqrt{u}$

               Таким образом, результат будет: $- 2 \sqrt{u}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $- 2 \sqrt{\cos{\left(u \right)} + 1}$

         Таким образом, результат будет: $- \sqrt{\cos{\left(u \right)} + 1}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $- \sqrt{\cos{\left(2 x \right)} + 1}$

   Метод #2

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int \frac{2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{\sqrt{\cos{\left(2 x \right)} + 1}}\, dx = 2 \int \frac{\sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{\sqrt{\cos{\left(2 x \right)} + 1}}\, dx$

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

         $\frac{\sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{\sqrt{\cos{\left(2 x \right)} + 1}} = \frac{\sqrt{2} \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{2 \sqrt{\cos^{2}{\left(x \right)}}}$

      2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{\sqrt{2} \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{2 \sqrt{\cos^{2}{\left(x \right)}}}\, dx = \frac{\sqrt{2} \int \frac{\sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{\sqrt{\cos^{2}{\left(x \right)}}}\, dx}{2}$

         1. пусть $u = \cos^{2}{\left(x \right)}$.

            Тогда пусть $du = - 2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} dx$ и подставим $- \frac{du}{2}$:

            $\int \frac{1}{4 \sqrt{u}}\, du$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \left(- \frac{1}{2 \sqrt{u}}\right)\, du = - \frac{\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du}{2}$

               1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

                  $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = 2 \sqrt{u}$

               Таким образом, результат будет: $- \sqrt{u}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $- \sqrt{\cos^{2}{\left(x \right)}}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{\sqrt{2} \sqrt{\cos^{2}{\left(x \right)}}}{2}$

      Таким образом, результат будет: $- \sqrt{2} \sqrt{\cos^{2}{\left(x \right)}}$

2. Теперь упростить:

   $- \sqrt{2} \sqrt{\cos^{2}{\left(x \right)}}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $- \sqrt{2} \sqrt{\cos^{2}{\left(x \right)}}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$- \sqrt{2} \sqrt{\cos^{2}{\left(x \right)}}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  ___     ____________
\/ 2  - \/ 1 + cos(2) 

$$- \sqrt{\cos{\left(2 \right)} + 1} + \sqrt{2}$$

=

=

  ___     ____________
\/ 2  - \/ 1 + cos(2) 

$$- \sqrt{\cos{\left(2 \right)} + 1} + \sqrt{2}$$

Численный ответ

0.650110713632916

Ответ (Неопределённый)

  /                                          
 |                                           
 |     sin(2*x)                ______________
 | ---------------- dx = C - \/ 1 + cos(2*x) 
 |   ______________                          
 | \/ 1 + cos(2*x)                           
 |                                           
/                                            

$$\int \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{\sqrt{\cos{\left(2 x \right)} + 1}}\, dx = C - \sqrt{\cos{\left(2 x \right)} + 1}$$

График