Интеграл sin(3*x)^(6) (dx)

Вы ввели

  1             
  /             
 |              
 |     6        
 |  sin (3*x) dx
 |              
/               
0               

$$\int_{0}^{1} \sin^{6}{\left (3 x \right )}\, dx$$

Подробное решение

1. Перепишите подынтегральное выражение:

   $\sin^{6}{\left (3 x \right )} = \left(- \frac{1}{2} \cos{\left (6 x \right )} + \frac{1}{2}\right)^{3}$

2. Перепишите подынтегральное выражение:

   $\left(- \frac{1}{2} \cos{\left (6 x \right )} + \frac{1}{2}\right)^{3} = - \frac{1}{8} \cos^{3}{\left (6 x \right )} + \frac{3}{8} \cos^{2}{\left (6 x \right )} - \frac{3}{8} \cos{\left (6 x \right )} + \frac{1}{8}$

3. Интегрируем почленно:

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int - \frac{1}{8} \cos^{3}{\left (6 x \right )}\, dx = - \frac{1}{8} \int \cos^{3}{\left (6 x \right )}\, dx$

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

         $\cos^{3}{\left (6 x \right )} = \left(- \sin^{2}{\left (6 x \right )} + 1\right) \cos{\left (6 x \right )}$

      2. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

         Метод #1

         1. пусть $u = \sin{\left (6 x \right )}$.

            Тогда пусть $du = 6 \cos{\left (6 x \right )} dx$ и подставим $du$:

            $\int - \frac{u^{2}}{6} + \frac{1}{6}\, du$

            1. Интегрируем почленно:

               1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                  $\int - \frac{u^{2}}{6}\, du = - \frac{1}{6} \int u^{2}\, du$

                  1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

                     $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

                  Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{3}}{18}$

               1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

                  $\int \frac{1}{6}\, du = \frac{u}{6}$

               Результат есть: $- \frac{u^{3}}{18} + \frac{u}{6}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $- \frac{1}{18} \sin^{3}{\left (6 x \right )} + \frac{1}{6} \sin{\left (6 x \right )}$

         Метод #2

         1. Перепишите подынтегральное выражение:

            $\left(- \sin^{2}{\left (6 x \right )} + 1\right) \cos{\left (6 x \right )} = - \sin^{2}{\left (6 x \right )} \cos{\left (6 x \right )} + \cos{\left (6 x \right )}$

         2. Интегрируем почленно:

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int - \sin^{2}{\left (6 x \right )} \cos{\left (6 x \right )}\, dx = - \int \sin^{2}{\left (6 x \right )} \cos{\left (6 x \right )}\, dx$

               1. пусть $u = \sin{\left (6 x \right )}$.

                  Тогда пусть $du = 6 \cos{\left (6 x \right )} dx$ и подставим $\frac{du}{6}$:

                  $\int u^{2}\, du$

                  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                     $\int u^{2}\, du = \frac{1}{6} \int u^{2}\, du$

                     1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

                        $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

                     Таким образом, результат будет: $\frac{u^{3}}{18}$

                  Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                  $\frac{1}{18} \sin^{3}{\left (6 x \right )}$

               Таким образом, результат будет: $- \frac{1}{18} \sin^{3}{\left (6 x \right )}$

            1. пусть $u = 6 x$.

               Тогда пусть $du = 6 dx$ и подставим $\frac{du}{6}$:

               $\int \cos{\left (u \right )}\, du$

               1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                  $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \frac{1}{6} \int \cos{\left (u \right )}\, du$

                  1. Интеграл от косинуса есть синус:

                     $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \sin{\left (u \right )}$

                  Таким образом, результат будет: $\frac{1}{6} \sin{\left (u \right )}$

               Если сейчас заменить $u$ ещё в:

               $\frac{1}{6} \sin{\left (6 x \right )}$

            Результат есть: $- \frac{1}{18} \sin^{3}{\left (6 x \right )} + \frac{1}{6} \sin{\left (6 x \right )}$

      Таким образом, результат будет: $\frac{1}{144} \sin^{3}{\left (6 x \right )} - \frac{1}{48} \sin{\left (6 x \right )}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int \frac{3}{8} \cos^{2}{\left (6 x \right )}\, dx = \frac{3}{8} \int \cos^{2}{\left (6 x \right )}\, dx$

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

         $\cos^{2}{\left (6 x \right )} = \frac{1}{2} \cos{\left (12 x \right )} + \frac{1}{2}$

      2. Интегрируем почленно:

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{1}{2} \cos{\left (12 x \right )}\, dx = \frac{1}{2} \int \cos{\left (12 x \right )}\, dx$

            1. пусть $u = 12 x$.

               Тогда пусть $du = 12 dx$ и подставим $\frac{du}{12}$:

               $\int \cos{\left (u \right )}\, du$

               1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                  $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \frac{1}{12} \int \cos{\left (u \right )}\, du$

                  1. Интеграл от косинуса есть синус:

                     $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \sin{\left (u \right )}$

                  Таким образом, результат будет: $\frac{1}{12} \sin{\left (u \right )}$

               Если сейчас заменить $u$ ещё в:

               $\frac{1}{12} \sin{\left (12 x \right )}$

            Таким образом, результат будет: $\frac{1}{24} \sin{\left (12 x \right )}$

         1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

            $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$

         Результат есть: $\frac{x}{2} + \frac{1}{24} \sin{\left (12 x \right )}$

      Таким образом, результат будет: $\frac{3 x}{16} + \frac{1}{64} \sin{\left (12 x \right )}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int - \frac{3}{8} \cos{\left (6 x \right )}\, dx = - \frac{3}{8} \int \cos{\left (6 x \right )}\, dx$

      1. пусть $u = 6 x$.

         Тогда пусть $du = 6 dx$ и подставим $\frac{du}{6}$:

         $\int \cos{\left (u \right )}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \frac{1}{6} \int \cos{\left (u \right )}\, du$

            1. Интеграл от косинуса есть синус:

               $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \sin{\left (u \right )}$

            Таким образом, результат будет: $\frac{1}{6} \sin{\left (u \right )}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\frac{1}{6} \sin{\left (6 x \right )}$

      Таким образом, результат будет: $- \frac{1}{16} \sin{\left (6 x \right )}$

   1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

      $\int \frac{1}{8}\, dx = \frac{x}{8}$

   Результат есть: $\frac{5 x}{16} + \frac{1}{144} \sin^{3}{\left (6 x \right )} - \frac{1}{12} \sin{\left (6 x \right )} + \frac{1}{64} \sin{\left (12 x \right )}$

4. Теперь упростить:

   $\frac{5 x}{16} - \frac{5}{64} \sin{\left (6 x \right )} + \frac{1}{64} \sin{\left (12 x \right )} - \frac{1}{576} \sin{\left (18 x \right )}$

5. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{5 x}{16} - \frac{5}{64} \sin{\left (6 x \right )} + \frac{1}{64} \sin{\left (12 x \right )} - \frac{1}{576} \sin{\left (18 x \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{5 x}{16} - \frac{5}{64} \sin{\left (6 x \right )} + \frac{1}{64} \sin{\left (12 x \right )} - \frac{1}{576} \sin{\left (18 x \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                                                                        
  /                                                                        
 |                                             3                5          
 |     6           5    5*cos(3)*sin(3)   5*sin (3)*cos(3)   sin (3)*cos(3)
 |  sin (3*x) dx = -- - --------------- - ---------------- - --------------
 |                 16          48                72                18      
/                                                                          
0                                                                          

$${{9\,\sin 12+4\,\sin ^36-48\,\sin 6+180}\over{576}}$$

Численный ответ

0.327249181256457

Ответ (Неопределённый)

  /                                                         
 |                                              3           
 |    6               sin(6*x)   sin(12*x)   sin (6*x)   5*x
 | sin (3*x) dx = C - -------- + --------- + --------- + ---
 |                       12          64         144       16
/                                                           

$${{{{3\,\left({{\sin \left(12\,x\right)}\over{2}}+6\,x\right)}\over{ 16}}-{{\sin \left(6\,x\right)-{{\sin ^3\left(6\,x\right)}\over{3}} }\over{8}}-{{3\,\sin \left(6\,x\right)}\over{8}}+{{3\,x}\over{4}} }\over{6}}$$