Интеграл sin(3*x)^(3) (dx)

Вы ввели

  1             
  /             
 |              
 |     3        
 |  sin (3*x) dx
 |              
/               
0               

$$\int\limits_{0}^{1} \sin^{3}{\left(3 x \right)}\, dx$$

Подробное решение

1. Перепишите подынтегральное выражение:

   $\sin^{3}{\left(3 x \right)} = \left(1 - \cos^{2}{\left(3 x \right)}\right) \sin{\left(3 x \right)}$

2. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = \cos{\left(3 x \right)}$.

      Тогда пусть $du = - 3 \sin{\left(3 x \right)} dx$ и подставим $du$:

      $\int \left(\frac{u^{2}}{3} - \frac{1}{3}\right)\, du$

      1. Интегрируем почленно:

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{u^{2}}{3}\, du = \frac{\int u^{2}\, du}{3}$

            1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

               $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

            Таким образом, результат будет: $\frac{u^{3}}{9}$

         1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

            $\int \left(- \frac{1}{3}\right)\, du = - \frac{u}{3}$

         Результат есть: $\frac{u^{3}}{9} - \frac{u}{3}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $\frac{\cos^{3}{\left(3 x \right)}}{9} - \frac{\cos{\left(3 x \right)}}{3}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\left(1 - \cos^{2}{\left(3 x \right)}\right) \sin{\left(3 x \right)} = - \sin{\left(3 x \right)} \cos^{2}{\left(3 x \right)} + \sin{\left(3 x \right)}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- \sin{\left(3 x \right)} \cos^{2}{\left(3 x \right)}\right)\, dx = - \int \sin{\left(3 x \right)} \cos^{2}{\left(3 x \right)}\, dx$

         1. пусть $u = \cos{\left(3 x \right)}$.

            Тогда пусть $du = - 3 \sin{\left(3 x \right)} dx$ и подставим $- \frac{du}{3}$:

            $\int \frac{u^{2}}{9}\, du$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \left(- \frac{u^{2}}{3}\right)\, du = - \frac{\int u^{2}\, du}{3}$

               1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

                  $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

               Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{3}}{9}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $- \frac{\cos^{3}{\left(3 x \right)}}{9}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{\cos^{3}{\left(3 x \right)}}{9}$

      1. пусть $u = 3 x$.

         Тогда пусть $du = 3 dx$ и подставим $\frac{du}{3}$:

         $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{9}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{3}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{3}$

            1. Интеграл от синуса есть минус косинус:

               $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$

            Таким образом, результат будет: $- \frac{\cos{\left(u \right)}}{3}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $- \frac{\cos{\left(3 x \right)}}{3}$

      Результат есть: $\frac{\cos^{3}{\left(3 x \right)}}{9} - \frac{\cos{\left(3 x \right)}}{3}$

   Метод #3

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\left(1 - \cos^{2}{\left(3 x \right)}\right) \sin{\left(3 x \right)} = - \sin{\left(3 x \right)} \cos^{2}{\left(3 x \right)} + \sin{\left(3 x \right)}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- \sin{\left(3 x \right)} \cos^{2}{\left(3 x \right)}\right)\, dx = - \int \sin{\left(3 x \right)} \cos^{2}{\left(3 x \right)}\, dx$

         1. пусть $u = \cos{\left(3 x \right)}$.

            Тогда пусть $du = - 3 \sin{\left(3 x \right)} dx$ и подставим $- \frac{du}{3}$:

            $\int \frac{u^{2}}{9}\, du$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \left(- \frac{u^{2}}{3}\right)\, du = - \frac{\int u^{2}\, du}{3}$

               1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

                  $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

               Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{3}}{9}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $- \frac{\cos^{3}{\left(3 x \right)}}{9}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{\cos^{3}{\left(3 x \right)}}{9}$

      1. пусть $u = 3 x$.

         Тогда пусть $du = 3 dx$ и подставим $\frac{du}{3}$:

         $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{9}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{3}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{3}$

            1. Интеграл от синуса есть минус косинус:

               $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$

            Таким образом, результат будет: $- \frac{\cos{\left(u \right)}}{3}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $- \frac{\cos{\left(3 x \right)}}{3}$

      Результат есть: $\frac{\cos^{3}{\left(3 x \right)}}{9} - \frac{\cos{\left(3 x \right)}}{3}$

3. Теперь упростить:

   $- \frac{\cos{\left(3 x \right)}}{4} + \frac{\cos{\left(9 x \right)}}{36}$

4. Добавляем постоянную интегрирования:

   $- \frac{\cos{\left(3 x \right)}}{4} + \frac{\cos{\left(9 x \right)}}{36}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$- \frac{\cos{\left(3 x \right)}}{4} + \frac{\cos{\left(9 x \right)}}{36}+ \mathrm{constant}$

Ответ

                3   
2   cos(3)   cos (3)
- - ------ + -------
9     3         9   

$$\frac{\cos^{3}{\left(3 \right)}}{9} + \frac{2}{9} - \frac{\cos{\left(3 \right)}}{3}$$

=

=

                3   
2   cos(3)   cos (3)
- - ------ + -------
9     3         9   

$$\frac{\cos^{3}{\left(3 \right)}}{9} + \frac{2}{9} - \frac{\cos{\left(3 \right)}}{3}$$

Численный ответ

0.444411172431093

Ответ (Неопределённый)

  /                                       
 |                                  3     
 |    3               cos(3*x)   cos (3*x)
 | sin (3*x) dx = C - -------- + ---------
 |                       3           9    
/                                         

$$\int \sin^{3}{\left(3 x \right)}\, dx = C + \frac{\cos^{3}{\left(3 x \right)}}{9} - \frac{\cos{\left(3 x \right)}}{3}$$

График