Интеграл sin(x/4)^(8) (dx)

Вы ввели

  1           
  /           
 |            
 |     8/x\   
 |  sin |-| dx
 |      \4/   
 |            
/             
0             

$$\int_{0}^{1} \sin^{8}{\left (\frac{x}{4} \right )}\, dx$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\sin^{8}{\left (\frac{x}{4} \right )} = \sin^{8}{\left (\frac{x}{4} \right )}$

   2. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\sin^{8}{\left (\frac{x}{4} \right )} = \left(- \frac{1}{2} \cos{\left (\frac{x}{2} \right )} + \frac{1}{2}\right)^{4}$

   3. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\left(- \frac{1}{2} \cos{\left (\frac{x}{2} \right )} + \frac{1}{2}\right)^{4} = \frac{1}{16} \cos^{4}{\left (\frac{x}{2} \right )} - \frac{1}{4} \cos^{3}{\left (\frac{x}{2} \right )} + \frac{3}{8} \cos^{2}{\left (\frac{x}{2} \right )} - \frac{1}{4} \cos{\left (\frac{x}{2} \right )} + \frac{1}{16}$

   4. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{1}{16} \cos^{4}{\left (\frac{x}{2} \right )}\, dx = \frac{1}{16} \int \cos^{4}{\left (\frac{x}{2} \right )}\, dx$

         1. Перепишите подынтегральное выражение:

            $\cos^{4}{\left (\frac{x}{2} \right )} = \left(\frac{1}{2} \cos{\left (x \right )} + \frac{1}{2}\right)^{2}$

         2. Перепишите подынтегральное выражение:

            $\left(\frac{1}{2} \cos{\left (x \right )} + \frac{1}{2}\right)^{2} = \frac{1}{4} \cos^{2}{\left (x \right )} + \frac{1}{2} \cos{\left (x \right )} + \frac{1}{4}$

         3. Интегрируем почленно:

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \frac{1}{4} \cos^{2}{\left (x \right )}\, dx = \frac{1}{4} \int \cos^{2}{\left (x \right )}\, dx$

               1. Перепишите подынтегральное выражение:

                  $\cos^{2}{\left (x \right )} = \frac{1}{2} \cos{\left (2 x \right )} + \frac{1}{2}$

               2. Интегрируем почленно:

                  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                     $\int \frac{1}{2} \cos{\left (2 x \right )}\, dx = \frac{1}{2} \int \cos{\left (2 x \right )}\, dx$

                     1. пусть $u = 2 x$.

                        Тогда пусть $du = 2 dx$ и подставим $\frac{du}{2}$:

                        $\int \cos{\left (u \right )}\, du$

                        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                           $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \frac{1}{2} \int \cos{\left (u \right )}\, du$

                           1. Интеграл от косинуса есть синус:

                              $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \sin{\left (u \right )}$

                           Таким образом, результат будет: $\frac{1}{2} \sin{\left (u \right )}$

                        Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                        $\frac{1}{2} \sin{\left (2 x \right )}$

                     Таким образом, результат будет: $\frac{1}{4} \sin{\left (2 x \right )}$

                  1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

                     $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$

                  Результат есть: $\frac{x}{2} + \frac{1}{4} \sin{\left (2 x \right )}$

               Таким образом, результат будет: $\frac{x}{8} + \frac{1}{16} \sin{\left (2 x \right )}$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \frac{1}{2} \cos{\left (x \right )}\, dx = \frac{1}{2} \int \cos{\left (x \right )}\, dx$

               1. Интеграл от косинуса есть синус:

                  $\int \cos{\left (x \right )}\, dx = \sin{\left (x \right )}$

               Таким образом, результат будет: $\frac{1}{2} \sin{\left (x \right )}$

            1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

               $\int \frac{1}{4}\, dx = \frac{x}{4}$

            Результат есть: $\frac{3 x}{8} + \frac{1}{2} \sin{\left (x \right )} + \frac{1}{16} \sin{\left (2 x \right )}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{3 x}{128} + \frac{1}{32} \sin{\left (x \right )} + \frac{1}{256} \sin{\left (2 x \right )}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int - \frac{1}{4} \cos^{3}{\left (\frac{x}{2} \right )}\, dx = - \frac{1}{4} \int \cos^{3}{\left (\frac{x}{2} \right )}\, dx$

         1. Перепишите подынтегральное выражение:

            $\cos^{3}{\left (\frac{x}{2} \right )} = \left(- \sin^{2}{\left (\frac{x}{2} \right )} + 1\right) \cos{\left (\frac{x}{2} \right )}$

         2. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

            Метод #1

            1. пусть $u = \sin{\left (\frac{x}{2} \right )}$.

               Тогда пусть $du = \frac{dx}{2} \cos{\left (\frac{x}{2} \right )}$ и подставим $du$:

               $\int - 2 u^{2} + 2\, du$

               1. Интегрируем почленно:

                  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                     $\int - 2 u^{2}\, du = - 2 \int u^{2}\, du$

                     1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

                        $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

                     Таким образом, результат будет: $- \frac{2 u^{3}}{3}$

                  1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

                     $\int 2\, du = 2 u$

                  Результат есть: $- \frac{2 u^{3}}{3} + 2 u$

               Если сейчас заменить $u$ ещё в:

               $- \frac{2}{3} \sin^{3}{\left (\frac{x}{2} \right )} + 2 \sin{\left (\frac{x}{2} \right )}$

            Метод #2

            1. Перепишите подынтегральное выражение:

               $\left(- \sin^{2}{\left (\frac{x}{2} \right )} + 1\right) \cos{\left (\frac{x}{2} \right )} = - \sin^{2}{\left (\frac{x}{2} \right )} \cos{\left (\frac{x}{2} \right )} + \cos{\left (\frac{x}{2} \right )}$

            2. Интегрируем почленно:

               1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                  $\int - \sin^{2}{\left (\frac{x}{2} \right )} \cos{\left (\frac{x}{2} \right )}\, dx = - \int \sin^{2}{\left (\frac{x}{2} \right )} \cos{\left (\frac{x}{2} \right )}\, dx$

                  1. пусть $u = \sin{\left (\frac{x}{2} \right )}$.

                     Тогда пусть $du = \frac{dx}{2} \cos{\left (\frac{x}{2} \right )}$ и подставим $2 du$:

                     $\int u^{2}\, du$

                     1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                        $\int u^{2}\, du = 2 \int u^{2}\, du$

                        1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

                           $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

                        Таким образом, результат будет: $\frac{2 u^{3}}{3}$

                     Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                     $\frac{2}{3} \sin^{3}{\left (\frac{x}{2} \right )}$

                  Таким образом, результат будет: $- \frac{2}{3} \sin^{3}{\left (\frac{x}{2} \right )}$

               1. пусть $u = \frac{x}{2}$.

                  Тогда пусть $du = \frac{dx}{2}$ и подставим $2 du$:

                  $\int \cos{\left (u \right )}\, du$

                  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                     $\int \cos{\left (u \right )}\, du = 2 \int \cos{\left (u \right )}\, du$

                     1. Интеграл от косинуса есть синус:

                        $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \sin{\left (u \right )}$

                     Таким образом, результат будет: $2 \sin{\left (u \right )}$

                  Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                  $2 \sin{\left (\frac{x}{2} \right )}$

               Результат есть: $- \frac{2}{3} \sin^{3}{\left (\frac{x}{2} \right )} + 2 \sin{\left (\frac{x}{2} \right )}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{1}{6} \sin^{3}{\left (\frac{x}{2} \right )} - \frac{1}{2} \sin{\left (\frac{x}{2} \right )}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{3}{8} \cos^{2}{\left (\frac{x}{2} \right )}\, dx = \frac{3}{8} \int \cos^{2}{\left (\frac{x}{2} \right )}\, dx$

         1. Перепишите подынтегральное выражение:

            $\cos^{2}{\left (\frac{x}{2} \right )} = \frac{1}{2} \cos{\left (x \right )} + \frac{1}{2}$

         2. Интегрируем почленно:

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \frac{1}{2} \cos{\left (x \right )}\, dx = \frac{1}{2} \int \cos{\left (x \right )}\, dx$

               1. Интеграл от косинуса есть синус:

                  $\int \cos{\left (x \right )}\, dx = \sin{\left (x \right )}$

               Таким образом, результат будет: $\frac{1}{2} \sin{\left (x \right )}$

            1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

               $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$

            Результат есть: $\frac{x}{2} + \frac{1}{2} \sin{\left (x \right )}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{3 x}{16} + \frac{3}{16} \sin{\left (x \right )}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int - \frac{1}{4} \cos{\left (\frac{x}{2} \right )}\, dx = - \frac{1}{4} \int \cos{\left (\frac{x}{2} \right )}\, dx$

         1. пусть $u = \frac{x}{2}$.

            Тогда пусть $du = \frac{dx}{2}$ и подставим $2 du$:

            $\int \cos{\left (u \right )}\, du$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \cos{\left (u \right )}\, du = 2 \int \cos{\left (u \right )}\, du$

               1. Интеграл от косинуса есть синус:

                  $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \sin{\left (u \right )}$

               Таким образом, результат будет: $2 \sin{\left (u \right )}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $2 \sin{\left (\frac{x}{2} \right )}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{1}{2} \sin{\left (\frac{x}{2} \right )}$

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int \frac{1}{16}\, dx = \frac{x}{16}$

      Результат есть: $\frac{35 x}{128} + \frac{1}{6} \sin^{3}{\left (\frac{x}{2} \right )} - \sin{\left (\frac{x}{2} \right )} + \frac{7}{32} \sin{\left (x \right )} + \frac{1}{256} \sin{\left (2 x \right )}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\sin^{8}{\left (\frac{x}{4} \right )} = \left(- \frac{1}{2} \cos{\left (\frac{x}{2} \right )} + \frac{1}{2}\right)^{4}$

   2. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\left(- \frac{1}{2} \cos{\left (\frac{x}{2} \right )} + \frac{1}{2}\right)^{4} = \frac{1}{16} \cos^{4}{\left (\frac{x}{2} \right )} - \frac{1}{4} \cos^{3}{\left (\frac{x}{2} \right )} + \frac{3}{8} \cos^{2}{\left (\frac{x}{2} \right )} - \frac{1}{4} \cos{\left (\frac{x}{2} \right )} + \frac{1}{16}$

   3. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{1}{16} \cos^{4}{\left (\frac{x}{2} \right )}\, dx = \frac{1}{16} \int \cos^{4}{\left (\frac{x}{2} \right )}\, dx$

         1. Перепишите подынтегральное выражение:

            $\cos^{4}{\left (\frac{x}{2} \right )} = \left(\frac{1}{2} \cos{\left (x \right )} + \frac{1}{2}\right)^{2}$

         2. Перепишите подынтегральное выражение:

            $\left(\frac{1}{2} \cos{\left (x \right )} + \frac{1}{2}\right)^{2} = \frac{1}{4} \cos^{2}{\left (x \right )} + \frac{1}{2} \cos{\left (x \right )} + \frac{1}{4}$

         3. Интегрируем почленно:

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \frac{1}{4} \cos^{2}{\left (x \right )}\, dx = \frac{1}{4} \int \cos^{2}{\left (x \right )}\, dx$

               1. Перепишите подынтегральное выражение:

                  $\cos^{2}{\left (x \right )} = \frac{1}{2} \cos{\left (2 x \right )} + \frac{1}{2}$

               2. Интегрируем почленно:

                  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                     $\int \frac{1}{2} \cos{\left (2 x \right )}\, dx = \frac{1}{2} \int \cos{\left (2 x \right )}\, dx$

                     1. пусть $u = 2 x$.

                        Тогда пусть $du = 2 dx$ и подставим $\frac{du}{2}$:

                        $\int \cos{\left (u \right )}\, du$

                        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                           $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \frac{1}{2} \int \cos{\left (u \right )}\, du$

                           1. Интеграл от косинуса есть синус:

                              $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \sin{\left (u \right )}$

                           Таким образом, результат будет: $\frac{1}{2} \sin{\left (u \right )}$

                        Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                        $\frac{1}{2} \sin{\left (2 x \right )}$

                     Таким образом, результат будет: $\frac{1}{4} \sin{\left (2 x \right )}$

                  1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

                     $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$

                  Результат есть: $\frac{x}{2} + \frac{1}{4} \sin{\left (2 x \right )}$

               Таким образом, результат будет: $\frac{x}{8} + \frac{1}{16} \sin{\left (2 x \right )}$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \frac{1}{2} \cos{\left (x \right )}\, dx = \frac{1}{2} \int \cos{\left (x \right )}\, dx$

               1. Интеграл от косинуса есть синус:

                  $\int \cos{\left (x \right )}\, dx = \sin{\left (x \right )}$

               Таким образом, результат будет: $\frac{1}{2} \sin{\left (x \right )}$

            1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

               $\int \frac{1}{4}\, dx = \frac{x}{4}$

            Результат есть: $\frac{3 x}{8} + \frac{1}{2} \sin{\left (x \right )} + \frac{1}{16} \sin{\left (2 x \right )}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{3 x}{128} + \frac{1}{32} \sin{\left (x \right )} + \frac{1}{256} \sin{\left (2 x \right )}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int - \frac{1}{4} \cos^{3}{\left (\frac{x}{2} \right )}\, dx = - \frac{1}{4} \int \cos^{3}{\left (\frac{x}{2} \right )}\, dx$

         1. Перепишите подынтегральное выражение:

            $\cos^{3}{\left (\frac{x}{2} \right )} = \left(- \sin^{2}{\left (\frac{x}{2} \right )} + 1\right) \cos{\left (\frac{x}{2} \right )}$

         2. пусть $u = \sin{\left (\frac{x}{2} \right )}$.

            Тогда пусть $du = \frac{dx}{2} \cos{\left (\frac{x}{2} \right )}$ и подставим $du$:

            $\int - 2 u^{2} + 2\, du$

            1. Интегрируем почленно:

               1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                  $\int - 2 u^{2}\, du = - 2 \int u^{2}\, du$

                  1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

                     $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

                  Таким образом, результат будет: $- \frac{2 u^{3}}{3}$

               1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

                  $\int 2\, du = 2 u$

               Результат есть: $- \frac{2 u^{3}}{3} + 2 u$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $- \frac{2}{3} \sin^{3}{\left (\frac{x}{2} \right )} + 2 \sin{\left (\frac{x}{2} \right )}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{1}{6} \sin^{3}{\left (\frac{x}{2} \right )} - \frac{1}{2} \sin{\left (\frac{x}{2} \right )}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{3}{8} \cos^{2}{\left (\frac{x}{2} \right )}\, dx = \frac{3}{8} \int \cos^{2}{\left (\frac{x}{2} \right )}\, dx$

         1. Перепишите подынтегральное выражение:

            $\cos^{2}{\left (\frac{x}{2} \right )} = \frac{1}{2} \cos{\left (x \right )} + \frac{1}{2}$

         2. Интегрируем почленно:

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \frac{1}{2} \cos{\left (x \right )}\, dx = \frac{1}{2} \int \cos{\left (x \right )}\, dx$

               1. Интеграл от косинуса есть синус:

                  $\int \cos{\left (x \right )}\, dx = \sin{\left (x \right )}$

               Таким образом, результат будет: $\frac{1}{2} \sin{\left (x \right )}$

            1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

               $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$

            Результат есть: $\frac{x}{2} + \frac{1}{2} \sin{\left (x \right )}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{3 x}{16} + \frac{3}{16} \sin{\left (x \right )}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int - \frac{1}{4} \cos{\left (\frac{x}{2} \right )}\, dx = - \frac{1}{4} \int \cos{\left (\frac{x}{2} \right )}\, dx$

         1. пусть $u = \frac{x}{2}$.

            Тогда пусть $du = \frac{dx}{2}$ и подставим $2 du$:

            $\int \cos{\left (u \right )}\, du$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \cos{\left (u \right )}\, du = 2 \int \cos{\left (u \right )}\, du$

               1. Интеграл от косинуса есть синус:

                  $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \sin{\left (u \right )}$

               Таким образом, результат будет: $2 \sin{\left (u \right )}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $2 \sin{\left (\frac{x}{2} \right )}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{1}{2} \sin{\left (\frac{x}{2} \right )}$

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int \frac{1}{16}\, dx = \frac{x}{16}$

      Результат есть: $\frac{35 x}{128} + \frac{1}{6} \sin^{3}{\left (\frac{x}{2} \right )} - \sin{\left (\frac{x}{2} \right )} + \frac{7}{32} \sin{\left (x \right )} + \frac{1}{256} \sin{\left (2 x \right )}$

2. Теперь упростить:

   $\frac{35 x}{128} - \frac{7}{8} \sin{\left (\frac{x}{2} \right )} + \frac{7}{32} \sin{\left (x \right )} - \frac{1}{24} \sin{\left (\frac{3 x}{2} \right )} + \frac{1}{256} \sin{\left (2 x \right )}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{35 x}{128} - \frac{7}{8} \sin{\left (\frac{x}{2} \right )} + \frac{7}{32} \sin{\left (x \right )} - \frac{1}{24} \sin{\left (\frac{3 x}{2} \right )} + \frac{1}{256} \sin{\left (2 x \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{35 x}{128} - \frac{7}{8} \sin{\left (\frac{x}{2} \right )} + \frac{7}{32} \sin{\left (x \right )} - \frac{1}{24} \sin{\left (\frac{3 x}{2} \right )} + \frac{1}{256} \sin{\left (2 x \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                                                                                                            
  /                                                                                                            
 |                                                  3                      5                    7              
 |     8/x\       35   35*cos(1/4)*sin(1/4)   35*sin (1/4)*cos(1/4)   7*sin (1/4)*cos(1/4)   sin (1/4)*cos(1/4)
 |  sin |-| dx = --- - -------------------- - --------------------- - -------------------- - ------------------
 |      \4/      128            32                      48                     12                    2         
 |                                                                                                             
/                                                                                                              
0                                                                                                              

$${{3\,\sin 2+168\,\sin 1+128\,\sin ^3\left({{1}\over{2}}\right)-768 \,\sin \left({{1}\over{2}}\right)+210}\over{768}}$$

Численный ответ

1.58361308528676e-6

Ответ (Неопределённый)

  /                             3/x\                             
 |                           sin |-|                             
 |    8/x\             /x\       \2/   sin(2*x)   7*sin(x)   35*x
 | sin |-| dx = C - sin|-| + ------- + -------- + -------- + ----
 |     \4/             \2/      6        256         32      128 
 |                                                               
/                                                                

$$2\,\left({{{{{{\sin \left(2\,x\right)}\over{2}}+x}\over{8}}+{{\sin x}\over{2}}+{{x}\over{4}}}\over{32}}+{{3\,\left({{\sin x}\over{2}}+ {{x}\over{2}}\right)}\over{16}}+{{x}\over{32}}-{{\sin \left({{x }\over{2}}\right)-{{\sin ^3\left({{x}\over{2}}\right)}\over{3}} }\over{4}}-{{\sin \left({{x}\over{2}}\right)}\over{4}}\right)$$