Интеграл (sin(x/2))^4 (dx)

Вы ввели

  1           
  /           
 |            
 |     4/x\   
 |  sin |-| dx
 |      \2/   
 |            
/             
0             

$$\int\limits_{0}^{1} \sin^{4}{\left(\frac{x}{2} \right)}\, dx$$

Подробное решение

1. Перепишите подынтегральное выражение:

   $\sin^{4}{\left(\frac{x}{2} \right)} = \left(\frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(x \right)}}{2}\right)^{2}$

2. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\left(\frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(x \right)}}{2}\right)^{2} = \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{4} - \frac{\cos{\left(x \right)}}{2} + \frac{1}{4}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{4}\, dx = \frac{\int \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx}{4}$

         1. Перепишите подынтегральное выражение:

            $\cos^{2}{\left(x \right)} = \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}$

         2. Интегрируем почленно:

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{2}$

               1. пусть $u = 2 x$.

                  Тогда пусть $du = 2 dx$ и подставим $\frac{du}{2}$:

                  $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du$

                  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                     $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$

                     1. Интеграл от косинуса есть синус:

                        $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

                     Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$

                  Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                  $\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}$

               Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}$

            1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

               $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$

            Результат есть: $\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{x}{8} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{16}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- \frac{\cos{\left(x \right)}}{2}\right)\, dx = - \frac{\int \cos{\left(x \right)}\, dx}{2}$

         1. Интеграл от косинуса есть синус:

            $\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{\sin{\left(x \right)}}{2}$

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int \frac{1}{4}\, dx = \frac{x}{4}$

      Результат есть: $\frac{3 x}{8} - \frac{\sin{\left(x \right)}}{2} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{16}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\left(\frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(x \right)}}{2}\right)^{2} = \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{4} - \frac{\cos{\left(x \right)}}{2} + \frac{1}{4}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{4}\, dx = \frac{\int \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx}{4}$

         1. Перепишите подынтегральное выражение:

            $\cos^{2}{\left(x \right)} = \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}$

         2. Интегрируем почленно:

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{2}$

               1. пусть $u = 2 x$.

                  Тогда пусть $du = 2 dx$ и подставим $\frac{du}{2}$:

                  $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du$

                  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                     $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$

                     1. Интеграл от косинуса есть синус:

                        $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

                     Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$

                  Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                  $\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}$

               Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}$

            1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

               $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$

            Результат есть: $\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{x}{8} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{16}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- \frac{\cos{\left(x \right)}}{2}\right)\, dx = - \frac{\int \cos{\left(x \right)}\, dx}{2}$

         1. Интеграл от косинуса есть синус:

            $\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{\sin{\left(x \right)}}{2}$

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int \frac{1}{4}\, dx = \frac{x}{4}$

      Результат есть: $\frac{3 x}{8} - \frac{\sin{\left(x \right)}}{2} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{16}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{3 x}{8} - \frac{\sin{\left(x \right)}}{2} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{16}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{3 x}{8} - \frac{\sin{\left(x \right)}}{2} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{16}+ \mathrm{constant}$

Ответ

                             3              
3   3*cos(1/2)*sin(1/2)   sin (1/2)*cos(1/2)
- - ------------------- - ------------------
8            4                    2         

$$- \frac{3 \sin{\left(\frac{1}{2} \right)} \cos{\left(\frac{1}{2} \right)}}{4} - \frac{\sin^{3}{\left(\frac{1}{2} \right)} \cos{\left(\frac{1}{2} \right)}}{2} + \frac{3}{8}$$

=

=

                             3              
3   3*cos(1/2)*sin(1/2)   sin (1/2)*cos(1/2)
- - ------------------- - ------------------
8            4                    2         

$$- \frac{3 \sin{\left(\frac{1}{2} \right)} \cos{\left(\frac{1}{2} \right)}}{4} - \frac{\sin^{3}{\left(\frac{1}{2} \right)} \cos{\left(\frac{1}{2} \right)}}{2} + \frac{3}{8}$$

Численный ответ

0.0110955967726569

Ответ (Неопределённый)

  /                                        
 |                                         
 |    4/x\          sin(x)   sin(2*x)   3*x
 | sin |-| dx = C - ------ + -------- + ---
 |     \2/            2         16       8 
 |                                         
/                                          

$$\int \sin^{4}{\left(\frac{x}{2} \right)}\, dx = C + \frac{3 x}{8} - \frac{\sin{\left(x \right)}}{2} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{16}$$

График