Интеграл sin(x/3)^(3) (dx)

Вы ввели

  1           
  /           
 |            
 |     3/x\   
 |  sin |-| dx
 |      \3/   
 |            
/             
0             

$$\int_{0}^{1} \sin^{3}{\left (\frac{x}{3} \right )}\, dx$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\sin^{3}{\left (\frac{x}{3} \right )} = \sin^{3}{\left (\frac{x}{3} \right )}$

   2. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\sin^{3}{\left (\frac{x}{3} \right )} = \left(- \cos^{2}{\left (\frac{x}{3} \right )} + 1\right) \sin{\left (\frac{x}{3} \right )}$

   3. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

      Метод #1

      1. пусть $u = \cos{\left (\frac{x}{3} \right )}$.

         Тогда пусть $du = - \frac{dx}{3} \sin{\left (\frac{x}{3} \right )}$ и подставим $du$:

         $\int 3 u^{2} - 3\, du$

         1. Интегрируем почленно:

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int 3 u^{2}\, du = 3 \int u^{2}\, du$

               1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

                  $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

               Таким образом, результат будет: $u^{3}$

            1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

               $\int -3\, du = - 3 u$

            Результат есть: $u^{3} - 3 u$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\cos^{3}{\left (\frac{x}{3} \right )} - 3 \cos{\left (\frac{x}{3} \right )}$

      Метод #2

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

         $\left(- \cos^{2}{\left (\frac{x}{3} \right )} + 1\right) \sin{\left (\frac{x}{3} \right )} = - \sin{\left (\frac{x}{3} \right )} \cos^{2}{\left (\frac{x}{3} \right )} + \sin{\left (\frac{x}{3} \right )}$

      2. Интегрируем почленно:

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int - \sin{\left (\frac{x}{3} \right )} \cos^{2}{\left (\frac{x}{3} \right )}\, dx = - \int \sin{\left (\frac{x}{3} \right )} \cos^{2}{\left (\frac{x}{3} \right )}\, dx$

            1. пусть $u = \cos{\left (\frac{x}{3} \right )}$.

               Тогда пусть $du = - \frac{dx}{3} \sin{\left (\frac{x}{3} \right )}$ и подставим $- 3 du$:

               $\int u^{2}\, du$

               1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                  $\int u^{2}\, du = - 3 \int u^{2}\, du$

                  1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

                     $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

                  Таким образом, результат будет: $- u^{3}$

               Если сейчас заменить $u$ ещё в:

               $- \cos^{3}{\left (\frac{x}{3} \right )}$

            Таким образом, результат будет: $\cos^{3}{\left (\frac{x}{3} \right )}$

         1. пусть $u = \frac{x}{3}$.

            Тогда пусть $du = \frac{dx}{3}$ и подставим $3 du$:

            $\int \sin{\left (u \right )}\, du$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \sin{\left (u \right )}\, du = 3 \int \sin{\left (u \right )}\, du$

               1. Интеграл от синуса есть минус косинус:

                  $\int \sin{\left (u \right )}\, du = - \cos{\left (u \right )}$

               Таким образом, результат будет: $- 3 \cos{\left (u \right )}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $- 3 \cos{\left (\frac{x}{3} \right )}$

         Результат есть: $\cos^{3}{\left (\frac{x}{3} \right )} - 3 \cos{\left (\frac{x}{3} \right )}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\sin^{3}{\left (\frac{x}{3} \right )} = \left(- \cos^{2}{\left (\frac{x}{3} \right )} + 1\right) \sin{\left (\frac{x}{3} \right )}$

   2. пусть $u = \cos{\left (\frac{x}{3} \right )}$.

      Тогда пусть $du = - \frac{dx}{3} \sin{\left (\frac{x}{3} \right )}$ и подставим $du$:

      $\int 3 u^{2} - 3\, du$

      1. Интегрируем почленно:

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int 3 u^{2}\, du = 3 \int u^{2}\, du$

            1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

               $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

            Таким образом, результат будет: $u^{3}$

         1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

            $\int -3\, du = - 3 u$

         Результат есть: $u^{3} - 3 u$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $\cos^{3}{\left (\frac{x}{3} \right )} - 3 \cos{\left (\frac{x}{3} \right )}$

2. Теперь упростить:

   $- \frac{9}{4} \cos{\left (\frac{x}{3} \right )} + \frac{1}{4} \cos{\left (x \right )}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $- \frac{9}{4} \cos{\left (\frac{x}{3} \right )} + \frac{1}{4} \cos{\left (x \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$- \frac{9}{4} \cos{\left (\frac{x}{3} \right )} + \frac{1}{4} \cos{\left (x \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                                        
  /                                        
 |                                         
 |     3/x\             3                  
 |  sin |-| dx = 2 + cos (1/3) - 3*cos(1/3)
 |      \3/                                
 |                                         
/                                          
0                                          

$$\cos ^3\left({{1}\over{3}}\right)-3\,\cos \left({{1}\over{3}} \right)+2$$

Численный ответ

0.00892244725887519

Ответ (Неопределённый)

  /                                   
 |                                    
 |    3/x\             3/x\        /x\
 | sin |-| dx = C + cos |-| - 3*cos|-|
 |     \3/              \3/        \3/
 |                                    
/                                     

$$3\,\left({{\cos ^3\left({{x}\over{3}}\right)}\over{3}}-\cos \left( {{x}\over{3}}\right)\right)$$