Интеграл sin(x)*exp(x) (dx)

Вы ввели

  1             
  /             
 |              
 |          x   
 |  sin(x)*e  dx
 |              
/               
0               

$$\int\limits_{0}^{1} e^{x} \sin{\left(x \right)}\, dx$$

Подробное решение

1. Используем интегрирование по частям, отметим, что в конечном итоге подынтегральное выражение повторяется.

   1. Для подинтегрального выражения $e^{x} \sin{\left(x \right)}$:

      пусть $u{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{x}$.

      Затем $\int e^{x} \sin{\left(x \right)}\, dx = e^{x} \sin{\left(x \right)} - \int e^{x} \cos{\left(x \right)}\, dx$.

   2. Для подинтегрального выражения $e^{x} \cos{\left(x \right)}$:

      пусть $u{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{x}$.

      Затем $\int e^{x} \sin{\left(x \right)}\, dx = e^{x} \sin{\left(x \right)} - e^{x} \cos{\left(x \right)} + \int \left(- e^{x} \sin{\left(x \right)}\right)\, dx$.

   3. Обратите внимание, что подынтегральное выражение повторилось, поэтому переместим его в сторону:

      $2 \int e^{x} \sin{\left(x \right)}\, dx = e^{x} \sin{\left(x \right)} - e^{x} \cos{\left(x \right)}$

      Поэтому,

      $\int e^{x} \sin{\left(x \right)}\, dx = \frac{e^{x} \sin{\left(x \right)}}{2} - \frac{e^{x} \cos{\left(x \right)}}{2}$

2. Теперь упростить:

   $- \frac{\sqrt{2} e^{x} \cos{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}}{2}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $- \frac{\sqrt{2} e^{x} \cos{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}}{2}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$- \frac{\sqrt{2} e^{x} \cos{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}}{2}+ \mathrm{constant}$

Ответ

1   e*sin(1)   e*cos(1)
- + -------- - --------
2      2          2    

$$- \frac{e \cos{\left(1 \right)}}{2} + \frac{1}{2} + \frac{e \sin{\left(1 \right)}}{2}$$

=

=

1   e*sin(1)   e*cos(1)
- + -------- - --------
2      2          2    

$$- \frac{e \cos{\left(1 \right)}}{2} + \frac{1}{2} + \frac{e \sin{\left(1 \right)}}{2}$$

Численный ответ

0.909330673631479

Ответ (Неопределённый)

  /                                        
 |                     x                  x
 |         x          e *sin(x)   cos(x)*e 
 | sin(x)*e  dx = C + --------- - ---------
 |                        2           2    
/                                          

$$\int e^{x} \sin{\left(x \right)}\, dx = C + \frac{e^{x} \sin{\left(x \right)}}{2} - \frac{e^{x} \cos{\left(x \right)}}{2}$$

График