Интеграл sin(x)*e^x*dx (dx)

Вы ввели

  1               
  /               
 |                
 |          x     
 |  sin(x)*e *1 dx
 |                
/                 
0                 

$$\int\limits_{0}^{1} \sin{\left(x \right)} e^{x} 1\, dx$$

Подробное решение

1. Используем интегрирование по частям, отметим, что в конечном итоге подынтегральное выражение повторяется.

   1. Для подинтегрального выражения $\sin{\left(x \right)} e^{x} 1$:

      пусть $u{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{x}$.

      Затем $\int \sin{\left(x \right)} e^{x} 1\, dx = e^{x} \sin{\left(x \right)} - \int e^{x} \cos{\left(x \right)}\, dx$.

   2. Для подинтегрального выражения $e^{x} \cos{\left(x \right)}$:

      пусть $u{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{x}$.

      Затем $\int \sin{\left(x \right)} e^{x} 1\, dx = e^{x} \sin{\left(x \right)} - e^{x} \cos{\left(x \right)} + \int \left(- e^{x} \sin{\left(x \right)}\right)\, dx$.

   3. Обратите внимание, что подынтегральное выражение повторилось, поэтому переместим его в сторону:

      $2 \int \sin{\left(x \right)} e^{x} 1\, dx = e^{x} \sin{\left(x \right)} - e^{x} \cos{\left(x \right)}$

      Поэтому,

      $\int \sin{\left(x \right)} e^{x} 1\, dx = \frac{e^{x} \sin{\left(x \right)}}{2} - \frac{e^{x} \cos{\left(x \right)}}{2}$

2. Теперь упростить:

   $- \frac{\sqrt{2} e^{x} \cos{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}}{2}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $- \frac{\sqrt{2} e^{x} \cos{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}}{2}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$- \frac{\sqrt{2} e^{x} \cos{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}}{2}+ \mathrm{constant}$

Ответ

1   e*sin(1)   e*cos(1)
- + -------- - --------
2      2          2    

$$- \frac{e \cos{\left(1 \right)}}{2} + \frac{1}{2} + \frac{e \sin{\left(1 \right)}}{2}$$

=

=

1   e*sin(1)   e*cos(1)
- + -------- - --------
2      2          2    

$$- \frac{e \cos{\left(1 \right)}}{2} + \frac{1}{2} + \frac{e \sin{\left(1 \right)}}{2}$$

Численный ответ

0.909330673631479

Ответ (Неопределённый)

  /                                          
 |                       x                  x
 |         x            e *sin(x)   cos(x)*e 
 | sin(x)*e *1 dx = C + --------- - ---------
 |                          2           2    
/                                            

$$\int \sin{\left(x \right)} e^{x} 1\, dx = C + \frac{e^{x} \sin{\left(x \right)}}{2} - \frac{e^{x} \cos{\left(x \right)}}{2}$$

График