Интеграл sin(x)^(4)/2 (dx)

Вы ввели

  1           
  /           
 |            
 |     4      
 |  sin (x)   
 |  ------- dx
 |     2      
 |            
/             
0             

$$\int_{0}^{1} \frac{1}{2} \sin^{4}{\left (x \right )}\, dx$$

Подробное решение

1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

   $\int \frac{1}{2} \sin^{4}{\left (x \right )}\, dx = \frac{1}{2} \int \sin^{4}{\left (x \right )}\, dx$

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\sin^{4}{\left (x \right )} = \left(- \frac{1}{2} \cos{\left (2 x \right )} + \frac{1}{2}\right)^{2}$

   2. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\left(- \frac{1}{2} \cos{\left (2 x \right )} + \frac{1}{2}\right)^{2} = \frac{1}{4} \cos^{2}{\left (2 x \right )} - \frac{1}{2} \cos{\left (2 x \right )} + \frac{1}{4}$

   3. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{1}{4} \cos^{2}{\left (2 x \right )}\, dx = \frac{1}{4} \int \cos^{2}{\left (2 x \right )}\, dx$

         1. Перепишите подынтегральное выражение:

            $\cos^{2}{\left (2 x \right )} = \frac{1}{2} \cos{\left (4 x \right )} + \frac{1}{2}$

         2. Интегрируем почленно:

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \frac{1}{2} \cos{\left (4 x \right )}\, dx = \frac{1}{2} \int \cos{\left (4 x \right )}\, dx$

               1. пусть $u = 4 x$.

                  Тогда пусть $du = 4 dx$ и подставим $\frac{du}{4}$:

                  $\int \cos{\left (u \right )}\, du$

                  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                     $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \frac{1}{4} \int \cos{\left (u \right )}\, du$

                     1. Интеграл от косинуса есть синус:

                        $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \sin{\left (u \right )}$

                     Таким образом, результат будет: $\frac{1}{4} \sin{\left (u \right )}$

                  Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                  $\frac{1}{4} \sin{\left (4 x \right )}$

               Таким образом, результат будет: $\frac{1}{8} \sin{\left (4 x \right )}$

            1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

               $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$

            Результат есть: $\frac{x}{2} + \frac{1}{8} \sin{\left (4 x \right )}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{x}{8} + \frac{1}{32} \sin{\left (4 x \right )}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int - \frac{1}{2} \cos{\left (2 x \right )}\, dx = - \frac{1}{2} \int \cos{\left (2 x \right )}\, dx$

         1. пусть $u = 2 x$.

            Тогда пусть $du = 2 dx$ и подставим $\frac{du}{2}$:

            $\int \cos{\left (u \right )}\, du$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \frac{1}{2} \int \cos{\left (u \right )}\, du$

               1. Интеграл от косинуса есть синус:

                  $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \sin{\left (u \right )}$

               Таким образом, результат будет: $\frac{1}{2} \sin{\left (u \right )}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\frac{1}{2} \sin{\left (2 x \right )}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{1}{4} \sin{\left (2 x \right )}$

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int \frac{1}{4}\, dx = \frac{x}{4}$

      Результат есть: $\frac{3 x}{8} - \frac{1}{4} \sin{\left (2 x \right )} + \frac{1}{32} \sin{\left (4 x \right )}$

   Таким образом, результат будет: $\frac{3 x}{16} - \frac{1}{8} \sin{\left (2 x \right )} + \frac{1}{64} \sin{\left (4 x \right )}$

2. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{3 x}{16} - \frac{1}{8} \sin{\left (2 x \right )} + \frac{1}{64} \sin{\left (4 x \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{3 x}{16} - \frac{1}{8} \sin{\left (2 x \right )} + \frac{1}{64} \sin{\left (4 x \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                                                   
  /                                                   
 |                                                    
 |     4                                   3          
 |  sin (x)      3    3*cos(1)*sin(1)   sin (1)*cos(1)
 |  ------- dx = -- - --------------- - --------------
 |     2         16          16               8       
 |                                                    
/                                                     
0                                                     

$${{\sin 4-8\,\sin 2+12}\over{64}}$$

Численный ответ

0.0620127826576034

Ответ (Неопределённый)

  /                                          
 |                                           
 |    4                                      
 | sin (x)          sin(2*x)   sin(4*x)   3*x
 | ------- dx = C - -------- + -------- + ---
 |    2                8          64       16
 |                                           
/                                            

$${{{{{{\sin \left(4\,x\right)}\over{2}}+2\,x}\over{8}}-{{\sin \left( 2\,x\right)}\over{2}}+{{x}\over{2}}}\over{4}}$$