Интеграл sin(x)^(33) (dx)

Вы ввели

  1            
  /            
 |             
 |     33      
 |  sin  (x) dx
 |             
/              
0              

$$\int_{0}^{1} \sin^{33}{\left (x \right )}\, dx$$

Подробное решение

1. Перепишите подынтегральное выражение:

   $\sin^{33}{\left (x \right )} = \left(- \cos^{2}{\left (x \right )} + 1\right)^{16} \sin{\left (x \right )}$

2. Перепишите подынтегральное выражение:

   $\left(- \cos^{2}{\left (x \right )} + 1\right)^{16} \sin{\left (x \right )} = \sin{\left (x \right )} \cos^{32}{\left (x \right )} - 16 \sin{\left (x \right )} \cos^{30}{\left (x \right )} + 120 \sin{\left (x \right )} \cos^{28}{\left (x \right )} - 560 \sin{\left (x \right )} \cos^{26}{\left (x \right )} + 1820 \sin{\left (x \right )} \cos^{24}{\left (x \right )} - 4368 \sin{\left (x \right )} \cos^{22}{\left (x \right )} + 8008 \sin{\left (x \right )} \cos^{20}{\left (x \right )} - 11440 \sin{\left (x \right )} \cos^{18}{\left (x \right )} + 12870 \sin{\left (x \right )} \cos^{16}{\left (x \right )} - 11440 \sin{\left (x \right )} \cos^{14}{\left (x \right )} + 8008 \sin{\left (x \right )} \cos^{12}{\left (x \right )} - 4368 \sin{\left (x \right )} \cos^{10}{\left (x \right )} + 1820 \sin{\left (x \right )} \cos^{8}{\left (x \right )} - 560 \sin{\left (x \right )} \cos^{6}{\left (x \right )} + 120 \sin{\left (x \right )} \cos^{4}{\left (x \right )} - 16 \sin{\left (x \right )} \cos^{2}{\left (x \right )} + \sin{\left (x \right )}$

3. Интегрируем почленно:

   1. пусть $u = \cos{\left (x \right )}$.

      Тогда пусть $du = - \sin{\left (x \right )} dx$ и подставим $- du$:

      $\int u^{32}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int u^{32}\, du = - \int u^{32}\, du$

         1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int u^{32}\, du = \frac{u^{33}}{33}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{33}}{33}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $- \frac{1}{33} \cos^{33}{\left (x \right )}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int - 16 \sin{\left (x \right )} \cos^{30}{\left (x \right )}\, dx = - 16 \int \sin{\left (x \right )} \cos^{30}{\left (x \right )}\, dx$

      1. пусть $u = \cos{\left (x \right )}$.

         Тогда пусть $du = - \sin{\left (x \right )} dx$ и подставим $- du$:

         $\int u^{30}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int u^{30}\, du = - \int u^{30}\, du$

            1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

               $\int u^{30}\, du = \frac{u^{31}}{31}$

            Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{31}}{31}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $- \frac{1}{31} \cos^{31}{\left (x \right )}$

      Таким образом, результат будет: $\frac{16}{31} \cos^{31}{\left (x \right )}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int 120 \sin{\left (x \right )} \cos^{28}{\left (x \right )}\, dx = 120 \int \sin{\left (x \right )} \cos^{28}{\left (x \right )}\, dx$

      1. пусть $u = \cos{\left (x \right )}$.

         Тогда пусть $du = - \sin{\left (x \right )} dx$ и подставим $- du$:

         $\int u^{28}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int u^{28}\, du = - \int u^{28}\, du$

            1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

               $\int u^{28}\, du = \frac{u^{29}}{29}$

            Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{29}}{29}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $- \frac{1}{29} \cos^{29}{\left (x \right )}$

      Таким образом, результат будет: $- \frac{120}{29} \cos^{29}{\left (x \right )}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int - 560 \sin{\left (x \right )} \cos^{26}{\left (x \right )}\, dx = - 560 \int \sin{\left (x \right )} \cos^{26}{\left (x \right )}\, dx$

      1. пусть $u = \cos{\left (x \right )}$.

         Тогда пусть $du = - \sin{\left (x \right )} dx$ и подставим $- du$:

         $\int u^{26}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int u^{26}\, du = - \int u^{26}\, du$

            1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

               $\int u^{26}\, du = \frac{u^{27}}{27}$

            Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{27}}{27}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $- \frac{1}{27} \cos^{27}{\left (x \right )}$

      Таким образом, результат будет: $\frac{560}{27} \cos^{27}{\left (x \right )}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int 1820 \sin{\left (x \right )} \cos^{24}{\left (x \right )}\, dx = 1820 \int \sin{\left (x \right )} \cos^{24}{\left (x \right )}\, dx$

      1. пусть $u = \cos{\left (x \right )}$.

         Тогда пусть $du = - \sin{\left (x \right )} dx$ и подставим $- du$:

         $\int u^{24}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int u^{24}\, du = - \int u^{24}\, du$

            1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

               $\int u^{24}\, du = \frac{u^{25}}{25}$

            Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{25}}{25}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $- \frac{1}{25} \cos^{25}{\left (x \right )}$

      Таким образом, результат будет: $- \frac{364}{5} \cos^{25}{\left (x \right )}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int - 4368 \sin{\left (x \right )} \cos^{22}{\left (x \right )}\, dx = - 4368 \int \sin{\left (x \right )} \cos^{22}{\left (x \right )}\, dx$

      1. пусть $u = \cos{\left (x \right )}$.

         Тогда пусть $du = - \sin{\left (x \right )} dx$ и подставим $- du$:

         $\int u^{22}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int u^{22}\, du = - \int u^{22}\, du$

            1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

               $\int u^{22}\, du = \frac{u^{23}}{23}$

            Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{23}}{23}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $- \frac{1}{23} \cos^{23}{\left (x \right )}$

      Таким образом, результат будет: $\frac{4368}{23} \cos^{23}{\left (x \right )}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int 8008 \sin{\left (x \right )} \cos^{20}{\left (x \right )}\, dx = 8008 \int \sin{\left (x \right )} \cos^{20}{\left (x \right )}\, dx$

      1. пусть $u = \cos{\left (x \right )}$.

         Тогда пусть $du = - \sin{\left (x \right )} dx$ и подставим $- du$:

         $\int u^{20}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int u^{20}\, du = - \int u^{20}\, du$

            1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

               $\int u^{20}\, du = \frac{u^{21}}{21}$

            Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{21}}{21}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $- \frac{1}{21} \cos^{21}{\left (x \right )}$

      Таким образом, результат будет: $- \frac{1144}{3} \cos^{21}{\left (x \right )}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int - 11440 \sin{\left (x \right )} \cos^{18}{\left (x \right )}\, dx = - 11440 \int \sin{\left (x \right )} \cos^{18}{\left (x \right )}\, dx$

      1. пусть $u = \cos{\left (x \right )}$.

         Тогда пусть $du = - \sin{\left (x \right )} dx$ и подставим $- du$:

         $\int u^{18}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int u^{18}\, du = - \int u^{18}\, du$

            1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

               $\int u^{18}\, du = \frac{u^{19}}{19}$

            Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{19}}{19}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $- \frac{1}{19} \cos^{19}{\left (x \right )}$

      Таким образом, результат будет: $\frac{11440}{19} \cos^{19}{\left (x \right )}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int 12870 \sin{\left (x \right )} \cos^{16}{\left (x \right )}\, dx = 12870 \int \sin{\left (x \right )} \cos^{16}{\left (x \right )}\, dx$

      1. пусть $u = \cos{\left (x \right )}$.

         Тогда пусть $du = - \sin{\left (x \right )} dx$ и подставим $- du$:

         $\int u^{16}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int u^{16}\, du = - \int u^{16}\, du$

            1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

               $\int u^{16}\, du = \frac{u^{17}}{17}$

            Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{17}}{17}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $- \frac{1}{17} \cos^{17}{\left (x \right )}$

      Таким образом, результат будет: $- \frac{12870}{17} \cos^{17}{\left (x \right )}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int - 11440 \sin{\left (x \right )} \cos^{14}{\left (x \right )}\, dx = - 11440 \int \sin{\left (x \right )} \cos^{14}{\left (x \right )}\, dx$

      1. пусть $u = \cos{\left (x \right )}$.

         Тогда пусть $du = - \sin{\left (x \right )} dx$ и подставим $- du$:

         $\int u^{14}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int u^{14}\, du = - \int u^{14}\, du$

            1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

               $\int u^{14}\, du = \frac{u^{15}}{15}$

            Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{15}}{15}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $- \frac{1}{15} \cos^{15}{\left (x \right )}$

      Таким образом, результат будет: $\frac{2288}{3} \cos^{15}{\left (x \right )}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int 8008 \sin{\left (x \right )} \cos^{12}{\left (x \right )}\, dx = 8008 \int \sin{\left (x \right )} \cos^{12}{\left (x \right )}\, dx$

      1. пусть $u = \cos{\left (x \right )}$.

         Тогда пусть $du = - \sin{\left (x \right )} dx$ и подставим $- du$:

         $\int u^{12}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int u^{12}\, du = - \int u^{12}\, du$

            1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

               $\int u^{12}\, du = \frac{u^{13}}{13}$

            Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{13}}{13}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $- \frac{1}{13} \cos^{13}{\left (x \right )}$

      Таким образом, результат будет: $- 616 \cos^{13}{\left (x \right )}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int - 4368 \sin{\left (x \right )} \cos^{10}{\left (x \right )}\, dx = - 4368 \int \sin{\left (x \right )} \cos^{10}{\left (x \right )}\, dx$

      1. пусть $u = \cos{\left (x \right )}$.

         Тогда пусть $du = - \sin{\left (x \right )} dx$ и подставим $- du$:

         $\int u^{10}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int u^{10}\, du = - \int u^{10}\, du$

            1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

               $\int u^{10}\, du = \frac{u^{11}}{11}$

            Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{11}}{11}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $- \frac{1}{11} \cos^{11}{\left (x \right )}$

      Таким образом, результат будет: $\frac{4368}{11} \cos^{11}{\left (x \right )}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int 1820 \sin{\left (x \right )} \cos^{8}{\left (x \right )}\, dx = 1820 \int \sin{\left (x \right )} \cos^{8}{\left (x \right )}\, dx$

      1. пусть $u = \cos{\left (x \right )}$.

         Тогда пусть $du = - \sin{\left (x \right )} dx$ и подставим $- du$:

         $\int u^{8}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int u^{8}\, du = - \int u^{8}\, du$

            1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

               $\int u^{8}\, du = \frac{u^{9}}{9}$

            Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{9}}{9}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $- \frac{1}{9} \cos^{9}{\left (x \right )}$

      Таким образом, результат будет: $- \frac{1820}{9} \cos^{9}{\left (x \right )}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int - 560 \sin{\left (x \right )} \cos^{6}{\left (x \right )}\, dx = - 560 \int \sin{\left (x \right )} \cos^{6}{\left (x \right )}\, dx$

      1. пусть $u = \cos{\left (x \right )}$.

         Тогда пусть $du = - \sin{\left (x \right )} dx$ и подставим $- du$:

         $\int u^{6}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int u^{6}\, du = - \int u^{6}\, du$

            1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

               $\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}$

            Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{7}}{7}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $- \frac{1}{7} \cos^{7}{\left (x \right )}$

      Таким образом, результат будет: $80 \cos^{7}{\left (x \right )}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int 120 \sin{\left (x \right )} \cos^{4}{\left (x \right )}\, dx = 120 \int \sin{\left (x \right )} \cos^{4}{\left (x \right )}\, dx$

      1. пусть $u = \cos{\left (x \right )}$.

         Тогда пусть $du = - \sin{\left (x \right )} dx$ и подставим $- du$:

         $\int u^{4}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int u^{4}\, du = - \int u^{4}\, du$

            1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

               $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

            Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{5}}{5}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $- \frac{1}{5} \cos^{5}{\left (x \right )}$

      Таким образом, результат будет: $- 24 \cos^{5}{\left (x \right )}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int - 16 \sin{\left (x \right )} \cos^{2}{\left (x \right )}\, dx = - 16 \int \sin{\left (x \right )} \cos^{2}{\left (x \right )}\, dx$

      1. пусть $u = \cos{\left (x \right )}$.

         Тогда пусть $du = - \sin{\left (x \right )} dx$ и подставим $- du$:

         $\int u^{2}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int u^{2}\, du = - \int u^{2}\, du$

            1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

               $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

            Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{3}}{3}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $- \frac{1}{3} \cos^{3}{\left (x \right )}$

      Таким образом, результат будет: $\frac{16}{3} \cos^{3}{\left (x \right )}$

   1. Интеграл от синуса есть минус косинус:

      $\int \sin{\left (x \right )}\, dx = - \cos{\left (x \right )}$

   Результат есть: $- \frac{1}{33} \cos^{33}{\left (x \right )} + \frac{16}{31} \cos^{31}{\left (x \right )} - \frac{120}{29} \cos^{29}{\left (x \right )} + \frac{560}{27} \cos^{27}{\left (x \right )} - \frac{364}{5} \cos^{25}{\left (x \right )} + \frac{4368}{23} \cos^{23}{\left (x \right )} - \frac{1144}{3} \cos^{21}{\left (x \right )} + \frac{11440}{19} \cos^{19}{\left (x \right )} - \frac{12870}{17} \cos^{17}{\left (x \right )} + \frac{2288}{3} \cos^{15}{\left (x \right )} - 616 \cos^{13}{\left (x \right )} + \frac{4368}{11} \cos^{11}{\left (x \right )} - \frac{1820}{9} \cos^{9}{\left (x \right )} + 80 \cos^{7}{\left (x \right )} - 24 \cos^{5}{\left (x \right )} + \frac{16}{3} \cos^{3}{\left (x \right )} - \cos{\left (x \right )}$

4. Теперь упростить:

   $\frac{1}{9917826435} \left(- 300540195 \cos^{32}{\left (x \right )} + 5118878160 \cos^{30}{\left (x \right )} - 41039281800 \cos^{28}{\left (x \right )} + 205703066800 \cos^{26}{\left (x \right )} - 722017764468 \cos^{24}{\left (x \right )} + 1883524602960 \cos^{22}{\left (x \right )} - 3781997813880 \cos^{20}{\left (x \right )} + 5971575495600 \cos^{18}{\left (x \right )} - 7508378012850 \cos^{16}{\left (x \right )} + 7563995627760 \cos^{14}{\left (x \right )} - 6109381083960 \cos^{12}{\left (x \right )} + 3938278715280 \cos^{10}{\left (x \right )} - 2005604901300 \cos^{8}{\left (x \right )} + 793426114800 \cos^{6}{\left (x \right )} - 238027834440 \cos^{4}{\left (x \right )} + 52895074320 \cos^{2}{\left (x \right )} - 9917826435\right) \cos{\left (x \right )}$

5. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{1}{9917826435} \left(- 300540195 \cos^{32}{\left (x \right )} + 5118878160 \cos^{30}{\left (x \right )} - 41039281800 \cos^{28}{\left (x \right )} + 205703066800 \cos^{26}{\left (x \right )} - 722017764468 \cos^{24}{\left (x \right )} + 1883524602960 \cos^{22}{\left (x \right )} - 3781997813880 \cos^{20}{\left (x \right )} + 5971575495600 \cos^{18}{\left (x \right )} - 7508378012850 \cos^{16}{\left (x \right )} + 7563995627760 \cos^{14}{\left (x \right )} - 6109381083960 \cos^{12}{\left (x \right )} + 3938278715280 \cos^{10}{\left (x \right )} - 2005604901300 \cos^{8}{\left (x \right )} + 793426114800 \cos^{6}{\left (x \right )} - 238027834440 \cos^{4}{\left (x \right )} + 52895074320 \cos^{2}{\left (x \right )} - 9917826435\right) \cos{\left (x \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{1}{9917826435} \left(- 300540195 \cos^{32}{\left (x \right )} + 5118878160 \cos^{30}{\left (x \right )} - 41039281800 \cos^{28}{\left (x \right )} + 205703066800 \cos^{26}{\left (x \right )} - 722017764468 \cos^{24}{\left (x \right )} + 1883524602960 \cos^{22}{\left (x \right )} - 3781997813880 \cos^{20}{\left (x \right )} + 5971575495600 \cos^{18}{\left (x \right )} - 7508378012850 \cos^{16}{\left (x \right )} + 7563995627760 \cos^{14}{\left (x \right )} - 6109381083960 \cos^{12}{\left (x \right )} + 3938278715280 \cos^{10}{\left (x \right )} - 2005604901300 \cos^{8}{\left (x \right )} + 793426114800 \cos^{6}{\left (x \right )} - 238027834440 \cos^{4}{\left (x \right )} + 52895074320 \cos^{2}{\left (x \right )} - 9917826435\right) \cos{\left (x \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                                                                                                                                                                                                                                                                               
  /                                                                                                                                                                                                                                                                               
 |                                                                                        17              9              21             25             29         33            3            31             27              15              11              23               19   
 |     33         2147483648                   13            5            7      12870*cos  (1)   1820*cos (1)   1144*cos  (1)   364*cos  (1)   120*cos  (1)   cos  (1)   16*cos (1)   16*cos  (1)   560*cos  (1)   2288*cos  (1)   4368*cos  (1)   4368*cos  (1)   11440*cos  (1)
 |  sin  (x) dx = ---------- - cos(1) - 616*cos  (1) - 24*cos (1) + 80*cos (1) - -------------- - ------------ - ------------- - ------------ - ------------ - -------- + ---------- + ----------- + ------------ + ------------- + ------------- + ------------- + --------------
 |                9917826435                                                           17              9               3              5              29           33          3             31            27              3               11              23              19      
/                                                                                                                                                                                                                                                                                 
0                                                                                                                                                                                                                                                                                 

$${{2147483648}\over{9917826435}}-{{300540195\,\cos ^{33}1-5118878160 \,\cos ^{31}1+41039281800\,\cos ^{29}1-205703066800\,\cos ^{27}1+ 722017764468\,\cos ^{25}1-1883524602960\,\cos ^{23}1+3781997813880\, \cos ^{21}1-5971575495600\,\cos ^{19}1+7508378012850\,\cos ^{17}1- 7563995627760\,\cos ^{15}1+6109381083960\,\cos ^{13}1-3938278715280 \,\cos ^{11}1+2005604901300\,\cos ^91-793426114800\,\cos ^71+ 238027834440\,\cos ^51-52895074320\,\cos ^31+9917826435\,\cos 1 }\over{9917826435}}$$

Численный ответ

0.00014507224454758

Ответ (Неопределённый)

  /                                                                                                                                                                                                                                                                     
 |                                                                              17              9              21             25             29         33            3            31             27              15              11              23               19   
 |    33                             13            5            7      12870*cos  (x)   1820*cos (x)   1144*cos  (x)   364*cos  (x)   120*cos  (x)   cos  (x)   16*cos (x)   16*cos  (x)   560*cos  (x)   2288*cos  (x)   4368*cos  (x)   4368*cos  (x)   11440*cos  (x)
 | sin  (x) dx = C - cos(x) - 616*cos  (x) - 24*cos (x) + 80*cos (x) - -------------- - ------------ - ------------- - ------------ - ------------ - -------- + ---------- + ----------- + ------------ + ------------- + ------------- + ------------- + --------------
 |                                                                           17              9               3              5              29           33          3             31            27              3               11              23              19      
/                                                                                                                                                                                                                                                                       

$$-{{300540195\,\cos ^{33}x-5118878160\,\cos ^{31}x+41039281800\, \cos ^{29}x-205703066800\,\cos ^{27}x+722017764468\,\cos ^{25}x- 1883524602960\,\cos ^{23}x+3781997813880\,\cos ^{21}x-5971575495600 \,\cos ^{19}x+7508378012850\,\cos ^{17}x-7563995627760\,\cos ^{15}x+ 6109381083960\,\cos ^{13}x-3938278715280\,\cos ^{11}x+2005604901300 \,\cos ^9x-793426114800\,\cos ^7x+238027834440\,\cos ^5x-52895074320 \,\cos ^3x+9917826435\,\cos x}\over{9917826435}}$$