Интеграл (t)*(1+x)^2 (dx)

Вы ввели

  1              
  /              
 |               
 |           2   
 |  t*(1 + x)  dx
 |               
/                
0                

$$\int_{0}^{1} t \left(x + 1\right)^{2}\, dx$$

Подробное решение

1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

   $\int t \left(x + 1\right)^{2}\, dx = t \int \left(x + 1\right)^{2}\, dx$

   1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

      Метод #1

      1. пусть $u = x + 1$.

         Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

         $\int u^{2}\, du$

         1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\frac{1}{3} \left(x + 1\right)^{3}$

      Метод #2

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

         $\left(x + 1\right)^{2} = x^{2} + 2 x + 1$

      2. Интегрируем почленно:

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int 2 x\, dx = 2 \int x\, dx$

            1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

               $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

            Таким образом, результат будет: $x^{2}$

         1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

            $\int 1\, dx = x$

         Результат есть: $\frac{x^{3}}{3} + x^{2} + x$

   Таким образом, результат будет: $\frac{t}{3} \left(x + 1\right)^{3}$

2. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{t}{3} \left(x + 1\right)^{3}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{t}{3} \left(x + 1\right)^{3}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                    
  /                    
 |                     
 |           2      7*t
 |  t*(1 + x)  dx = ---
 |                   3 
/                      
0                      

$${{7\,t}\over{3}}$$

Ответ (Неопределённый)

  /                              
 |                              3
 |          2          t*(1 + x) 
 | t*(1 + x)  dx = C + ----------
 |                         3     
/                                

$$t\,\left({{x^3}\over{3}}+x^2+x\right)$$