Интеграл t*sin(t/2) (dx)

Вы ввели

  1            
  /            
 |             
 |       /t\   
 |  t*sin|-| dt
 |       \2/   
 |             
/              
0              

$$\int_{0}^{1} t \sin{\left (\frac{t}{2} \right )}\, dt$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. Используем интегрирование по частям:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      пусть $u{\left (t \right )} = t$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (t \right )} = \sin{\left (\frac{t}{2} \right )}$ dx.

      Затем $\operatorname{du}{\left (t \right )} = 1$ dx.

      Чтобы найти $v{\left (t \right )}$:

      1. пусть $u = \frac{t}{2}$.

         Тогда пусть $du = \frac{dt}{2}$ и подставим $2 du$:

         $\int \sin{\left (u \right )}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \sin{\left (u \right )}\, du = 2 \int \sin{\left (u \right )}\, du$

            1. Интеграл от синуса есть минус косинус:

               $\int \sin{\left (u \right )}\, du = - \cos{\left (u \right )}$

            Таким образом, результат будет: $- 2 \cos{\left (u \right )}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $- 2 \cos{\left (\frac{t}{2} \right )}$

      Теперь решаем под-интеграл.

   2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int - 2 \cos{\left (\frac{t}{2} \right )}\, dt = - 2 \int \cos{\left (\frac{t}{2} \right )}\, dt$

      1. пусть $u = \frac{t}{2}$.

         Тогда пусть $du = \frac{dt}{2}$ и подставим $2 du$:

         $\int \cos{\left (u \right )}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \cos{\left (u \right )}\, du = 2 \int \cos{\left (u \right )}\, du$

            1. Интеграл от косинуса есть синус:

               $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \sin{\left (u \right )}$

            Таким образом, результат будет: $2 \sin{\left (u \right )}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $2 \sin{\left (\frac{t}{2} \right )}$

      Таким образом, результат будет: $- 4 \sin{\left (\frac{t}{2} \right )}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $t \sin{\left (\frac{t}{2} \right )} = t \sin{\left (\frac{t}{2} \right )}$

   2. Используем интегрирование по частям:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      пусть $u{\left (t \right )} = t$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (t \right )} = \sin{\left (\frac{t}{2} \right )}$ dx.

      Затем $\operatorname{du}{\left (t \right )} = 1$ dx.

      Чтобы найти $v{\left (t \right )}$:

      1. пусть $u = \frac{t}{2}$.

         Тогда пусть $du = \frac{dt}{2}$ и подставим $2 du$:

         $\int \sin{\left (u \right )}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \sin{\left (u \right )}\, du = 2 \int \sin{\left (u \right )}\, du$

            1. Интеграл от синуса есть минус косинус:

               $\int \sin{\left (u \right )}\, du = - \cos{\left (u \right )}$

            Таким образом, результат будет: $- 2 \cos{\left (u \right )}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $- 2 \cos{\left (\frac{t}{2} \right )}$

      Теперь решаем под-интеграл.

   3. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int - 2 \cos{\left (\frac{t}{2} \right )}\, dt = - 2 \int \cos{\left (\frac{t}{2} \right )}\, dt$

      1. пусть $u = \frac{t}{2}$.

         Тогда пусть $du = \frac{dt}{2}$ и подставим $2 du$:

         $\int \cos{\left (u \right )}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \cos{\left (u \right )}\, du = 2 \int \cos{\left (u \right )}\, du$

            1. Интеграл от косинуса есть синус:

               $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \sin{\left (u \right )}$

            Таким образом, результат будет: $2 \sin{\left (u \right )}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $2 \sin{\left (\frac{t}{2} \right )}$

      Таким образом, результат будет: $- 4 \sin{\left (\frac{t}{2} \right )}$

2. Теперь упростить:

   $- 2 t \cos{\left (\frac{t}{2} \right )} + 4 \sin{\left (\frac{t}{2} \right )}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $- 2 t \cos{\left (\frac{t}{2} \right )} + 4 \sin{\left (\frac{t}{2} \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$- 2 t \cos{\left (\frac{t}{2} \right )} + 4 \sin{\left (\frac{t}{2} \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                                       
  /                                       
 |                                        
 |       /t\                              
 |  t*sin|-| dt = -2*cos(1/2) + 4*sin(1/2)
 |       \2/                              
 |                                        
/                                         
0                                         

$$4\,\sin \left({{1}\over{2}}\right)-2\,\cos \left({{1}\over{2}} \right)$$

Численный ответ

0.162537030636067

Ответ (Неопределённый)

  /                                       
 |                                        
 |      /t\               /t\          /t\
 | t*sin|-| dt = C + 4*sin|-| - 2*t*cos|-|
 |      \2/               \2/          \2/
 |                                        
/                                         

$$4\,\left(\sin \left({{t}\over{2}}\right)-{{\cos \left({{t}\over{2}} \right)\,t}\over{2}}\right)$$