Интеграл tan(3*x)^(3) (dx)

Преподаватель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

d

↑ Введите нижнюю границу интеграла и верхнюю границу интеграла b, подинтегральную функцию f(x) - смотрите пример

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

    Решение

    Вы ввели [src]
      1             
      /             
     |              
     |     3        
     |  tan (3*x) dx
     |              
    /               
    0               
    01tan3(3x)dx\int_{0}^{1} \tan^{3}{\left (3 x \right )}\, dx
    Подробное решение
    1. Перепишите подынтегральное выражение:

      tan3(3x)=(sec2(3x)1)tan(3x)\tan^{3}{\left (3 x \right )} = \left(\sec^{2}{\left (3 x \right )} - 1\right) \tan{\left (3 x \right )}

    2. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

      Метод #1

      1. пусть u=sec2(3x)u = \sec^{2}{\left (3 x \right )}.

        Тогда пусть du=6tan(3x)sec2(3x)dxdu = 6 \tan{\left (3 x \right )} \sec^{2}{\left (3 x \right )} dx и подставим du6\frac{du}{6}:

        1u(u1)du\int \frac{1}{u} \left(u - 1\right)\, du

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          1u(u1)du=161u(u1)du\int \frac{1}{u} \left(u - 1\right)\, du = \frac{1}{6} \int \frac{1}{u} \left(u - 1\right)\, du

          1. Перепишите подынтегральное выражение:

            1u(u1)=11u\frac{1}{u} \left(u - 1\right) = 1 - \frac{1}{u}

          2. Интегрируем почленно:

            1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

              1du=u\int 1\, du = u

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

              1udu=1udu\int - \frac{1}{u}\, du = - \int \frac{1}{u}\, du

              1. Интеграл 1u\frac{1}{u} есть log(u)\log{\left (u \right )}.

              Таким образом, результат будет: log(u)- \log{\left (u \right )}

            Результат есть: ulog(u)u - \log{\left (u \right )}

          Таким образом, результат будет: u616log(u)\frac{u}{6} - \frac{1}{6} \log{\left (u \right )}

        Если сейчас заменить uu ещё в:

        16log(sec2(3x))+16sec2(3x)- \frac{1}{6} \log{\left (\sec^{2}{\left (3 x \right )} \right )} + \frac{1}{6} \sec^{2}{\left (3 x \right )}

      Метод #2

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

        (sec2(3x)1)tan(3x)=tan(3x)sec2(3x)tan(3x)\left(\sec^{2}{\left (3 x \right )} - 1\right) \tan{\left (3 x \right )} = \tan{\left (3 x \right )} \sec^{2}{\left (3 x \right )} - \tan{\left (3 x \right )}

      2. Интегрируем почленно:

        1. пусть u=sec(3x)u = \sec{\left (3 x \right )}.

          Тогда пусть du=3tan(3x)sec(3x)dxdu = 3 \tan{\left (3 x \right )} \sec{\left (3 x \right )} dx и подставим du3\frac{du}{3}:

          udu\int u\, du

          1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            udu=13udu\int u\, du = \frac{1}{3} \int u\, du

            1. Интеграл unu^{n} есть un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1}:

              udu=u22\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}

            Таким образом, результат будет: u26\frac{u^{2}}{6}

          Если сейчас заменить uu ещё в:

          16sec2(3x)\frac{1}{6} \sec^{2}{\left (3 x \right )}

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          tan(3x)dx=tan(3x)dx\int - \tan{\left (3 x \right )}\, dx = - \int \tan{\left (3 x \right )}\, dx

          1. Перепишите подынтегральное выражение:

            tan(3x)=sin(3x)cos(3x)\tan{\left (3 x \right )} = \frac{\sin{\left (3 x \right )}}{\cos{\left (3 x \right )}}

          2. пусть u=cos(3x)u = \cos{\left (3 x \right )}.

            Тогда пусть du=3sin(3x)dxdu = - 3 \sin{\left (3 x \right )} dx и подставим du3- \frac{du}{3}:

            1udu\int \frac{1}{u}\, du

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

              1udu=131udu\int \frac{1}{u}\, du = - \frac{1}{3} \int \frac{1}{u}\, du

              1. Интеграл 1u\frac{1}{u} есть log(u)\log{\left (u \right )}.

              Таким образом, результат будет: 13log(u)- \frac{1}{3} \log{\left (u \right )}

            Если сейчас заменить uu ещё в:

            13log(cos(3x))- \frac{1}{3} \log{\left (\cos{\left (3 x \right )} \right )}

          Таким образом, результат будет: 13log(cos(3x))\frac{1}{3} \log{\left (\cos{\left (3 x \right )} \right )}

        Результат есть: 13log(cos(3x))+16sec2(3x)\frac{1}{3} \log{\left (\cos{\left (3 x \right )} \right )} + \frac{1}{6} \sec^{2}{\left (3 x \right )}

    3. Добавляем постоянную интегрирования:

      16log(sec2(3x))+16sec2(3x)+constant- \frac{1}{6} \log{\left (\sec^{2}{\left (3 x \right )} \right )} + \frac{1}{6} \sec^{2}{\left (3 x \right )}+ \mathrm{constant}


    Ответ:

    16log(sec2(3x))+16sec2(3x)+constant- \frac{1}{6} \log{\left (\sec^{2}{\left (3 x \right )} \right )} + \frac{1}{6} \sec^{2}{\left (3 x \right )}+ \mathrm{constant}

    График
    02468-8-6-4-2-1010-1000000010000000
    Ответ [src]
      1                                                           
      /                                                           
     |                                               /       2   \
     |     3             1           1            log\1 - sin (3)/
     |  tan (3*x) dx = - - - ------------------ + ----------------
     |                   6     /          2   \          6        
    /                        3*\-2 + 2*sin (3)/                   
    0                                                             
    %a{\it \%a}
    Численный ответ [src]
    -565294.884964987
    Ответ (Неопределённый) [src]
      /                                             
     |                       /   2     \      2     
     |    3               log\sec (3*x)/   sec (3*x)
     | tan (3*x) dx = C - -------------- + ---------
     |                          6              6    
    /                                               
    log(sin2(3x)1)212sin2(3x)23{{{{\log \left(\sin ^2\left(3\,x\right)-1\right)}\over{2}}-{{1 }\over{2\,\sin ^2\left(3\,x\right)-2}}}\over{3}}