Интеграл tan(x/2)^5 (dx)

Вы ввели

  1           
  /           
 |            
 |     5/x\   
 |  tan |-| dx
 |      \2/   
 |            
/             
0             

$$\int_{0}^{1} \tan^{5}{\left (\frac{x}{2} \right )}\, dx$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\tan^{5}{\left (\frac{x}{2} \right )} = \tan^{5}{\left (\frac{x}{2} \right )}$

   2. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\tan^{5}{\left (\frac{x}{2} \right )} = \left(\sec^{2}{\left (\frac{x}{2} \right )} - 1\right)^{2} \tan{\left (\frac{x}{2} \right )}$

   3. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

      Метод #1

      1. пусть $u = \frac{x}{2}$.

         Тогда пусть $du = \frac{dx}{2}$ и подставим $du$:

         $\int 2 \tan{\left (u \right )} \sec^{4}{\left (u \right )} - 4 \tan{\left (u \right )} \sec^{2}{\left (u \right )} + 2 \tan{\left (u \right )}\, du$

         1. Интегрируем почленно:

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int 2 \tan{\left (u \right )} \sec^{4}{\left (u \right )}\, du = 2 \int \tan{\left (u \right )} \sec^{4}{\left (u \right )}\, du$

               1. пусть $u = \sec{\left (u \right )}$.

                  Тогда пусть $du = \tan{\left (u \right )} \sec{\left (u \right )} du$ и подставим $du$:

                  $\int u^{3}\, du$

                  1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

                     $\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}$

                  Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                  $\frac{1}{4} \sec^{4}{\left (u \right )}$

               Таким образом, результат будет: $\frac{1}{2} \sec^{4}{\left (u \right )}$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int - 4 \tan{\left (u \right )} \sec^{2}{\left (u \right )}\, du = - 4 \int \tan{\left (u \right )} \sec^{2}{\left (u \right )}\, du$

               1. пусть $u = \sec{\left (u \right )}$.

                  Тогда пусть $du = \tan{\left (u \right )} \sec{\left (u \right )} du$ и подставим $du$:

                  $\int u\, du$

                  1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

                     $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

                  Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                  $\frac{1}{2} \sec^{2}{\left (u \right )}$

               Таким образом, результат будет: $- 2 \sec^{2}{\left (u \right )}$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int 2 \tan{\left (u \right )}\, du = 2 \int \tan{\left (u \right )}\, du$

               1. Перепишите подынтегральное выражение:

                  $\tan{\left (u \right )} = \frac{\sin{\left (u \right )}}{\cos{\left (u \right )}}$

               2. пусть $u = \cos{\left (u \right )}$.

                  Тогда пусть $du = - \sin{\left (u \right )} du$ и подставим $- du$:

                  $\int \frac{1}{u}\, du$

                  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                     $\int \frac{1}{u}\, du = - \int \frac{1}{u}\, du$

                     1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

                     Таким образом, результат будет: $- \log{\left (u \right )}$

                  Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                  $- \log{\left (\cos{\left (u \right )} \right )}$

               Таким образом, результат будет: $- 2 \log{\left (\cos{\left (u \right )} \right )}$

            Результат есть: $- 2 \log{\left (\cos{\left (u \right )} \right )} + \frac{1}{2} \sec^{4}{\left (u \right )} - 2 \sec^{2}{\left (u \right )}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $- 2 \log{\left (\cos{\left (\frac{x}{2} \right )} \right )} + \frac{1}{2} \sec^{4}{\left (\frac{x}{2} \right )} - 2 \sec^{2}{\left (\frac{x}{2} \right )}$

      Метод #2

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

         $\left(\sec^{2}{\left (\frac{x}{2} \right )} - 1\right)^{2} \tan{\left (\frac{x}{2} \right )} = \tan{\left (\frac{x}{2} \right )} \sec^{4}{\left (\frac{x}{2} \right )} - 2 \tan{\left (\frac{x}{2} \right )} \sec^{2}{\left (\frac{x}{2} \right )} + \tan{\left (\frac{x}{2} \right )}$

      2. Интегрируем почленно:

         1. пусть $u = \sec{\left (\frac{x}{2} \right )}$.

            Тогда пусть $du = \frac{dx}{2} \tan{\left (\frac{x}{2} \right )} \sec{\left (\frac{x}{2} \right )}$ и подставим $2 du$:

            $\int u^{3}\, du$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int u^{3}\, du = 2 \int u^{3}\, du$

               1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

                  $\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}$

               Таким образом, результат будет: $\frac{u^{4}}{2}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\frac{1}{2} \sec^{4}{\left (\frac{x}{2} \right )}$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int - 2 \tan{\left (\frac{x}{2} \right )} \sec^{2}{\left (\frac{x}{2} \right )}\, dx = - 2 \int \tan{\left (\frac{x}{2} \right )} \sec^{2}{\left (\frac{x}{2} \right )}\, dx$

            1. пусть $u = \sec{\left (\frac{x}{2} \right )}$.

               Тогда пусть $du = \frac{dx}{2} \tan{\left (\frac{x}{2} \right )} \sec{\left (\frac{x}{2} \right )}$ и подставим $2 du$:

               $\int u\, du$

               1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                  $\int u\, du = 2 \int u\, du$

                  1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

                     $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

                  Таким образом, результат будет: $u^{2}$

               Если сейчас заменить $u$ ещё в:

               $\sec^{2}{\left (\frac{x}{2} \right )}$

            Таким образом, результат будет: $- 2 \sec^{2}{\left (\frac{x}{2} \right )}$

         1. Перепишите подынтегральное выражение:

            $\tan{\left (\frac{x}{2} \right )} = \frac{\sin{\left (\frac{x}{2} \right )}}{\cos{\left (\frac{x}{2} \right )}}$

         2. пусть $u = \cos{\left (\frac{x}{2} \right )}$.

            Тогда пусть $du = - \frac{dx}{2} \sin{\left (\frac{x}{2} \right )}$ и подставим $- 2 du$:

            $\int \frac{1}{u}\, du$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \frac{1}{u}\, du = - 2 \int \frac{1}{u}\, du$

               1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

               Таким образом, результат будет: $- 2 \log{\left (u \right )}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $- 2 \log{\left (\cos{\left (\frac{x}{2} \right )} \right )}$

         Результат есть: $- 2 \log{\left (\cos{\left (\frac{x}{2} \right )} \right )} + \frac{1}{2} \sec^{4}{\left (\frac{x}{2} \right )} - 2 \sec^{2}{\left (\frac{x}{2} \right )}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\tan^{5}{\left (\frac{x}{2} \right )} = \left(\sec^{2}{\left (\frac{x}{2} \right )} - 1\right)^{2} \tan{\left (\frac{x}{2} \right )}$

   2. пусть $u = \frac{x}{2}$.

      Тогда пусть $du = \frac{dx}{2}$ и подставим $du$:

      $\int 2 \tan{\left (u \right )} \sec^{4}{\left (u \right )} - 4 \tan{\left (u \right )} \sec^{2}{\left (u \right )} + 2 \tan{\left (u \right )}\, du$

      1. Интегрируем почленно:

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int 2 \tan{\left (u \right )} \sec^{4}{\left (u \right )}\, du = 2 \int \tan{\left (u \right )} \sec^{4}{\left (u \right )}\, du$

            1. пусть $u = \sec{\left (u \right )}$.

               Тогда пусть $du = \tan{\left (u \right )} \sec{\left (u \right )} du$ и подставим $du$:

               $\int u^{3}\, du$

               1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

                  $\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}$

               Если сейчас заменить $u$ ещё в:

               $\frac{1}{4} \sec^{4}{\left (u \right )}$

            Таким образом, результат будет: $\frac{1}{2} \sec^{4}{\left (u \right )}$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int - 4 \tan{\left (u \right )} \sec^{2}{\left (u \right )}\, du = - 4 \int \tan{\left (u \right )} \sec^{2}{\left (u \right )}\, du$

            1. пусть $u = \sec{\left (u \right )}$.

               Тогда пусть $du = \tan{\left (u \right )} \sec{\left (u \right )} du$ и подставим $du$:

               $\int u\, du$

               1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

                  $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

               Если сейчас заменить $u$ ещё в:

               $\frac{1}{2} \sec^{2}{\left (u \right )}$

            Таким образом, результат будет: $- 2 \sec^{2}{\left (u \right )}$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int 2 \tan{\left (u \right )}\, du = 2 \int \tan{\left (u \right )}\, du$

            1. Перепишите подынтегральное выражение:

               $\tan{\left (u \right )} = \frac{\sin{\left (u \right )}}{\cos{\left (u \right )}}$

            2. пусть $u = \cos{\left (u \right )}$.

               Тогда пусть $du = - \sin{\left (u \right )} du$ и подставим $- du$:

               $\int \frac{1}{u}\, du$

               1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                  $\int \frac{1}{u}\, du = - \int \frac{1}{u}\, du$

                  1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

                  Таким образом, результат будет: $- \log{\left (u \right )}$

               Если сейчас заменить $u$ ещё в:

               $- \log{\left (\cos{\left (u \right )} \right )}$

            Таким образом, результат будет: $- 2 \log{\left (\cos{\left (u \right )} \right )}$

         Результат есть: $- 2 \log{\left (\cos{\left (u \right )} \right )} + \frac{1}{2} \sec^{4}{\left (u \right )} - 2 \sec^{2}{\left (u \right )}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $- 2 \log{\left (\cos{\left (\frac{x}{2} \right )} \right )} + \frac{1}{2} \sec^{4}{\left (\frac{x}{2} \right )} - 2 \sec^{2}{\left (\frac{x}{2} \right )}$

2. Добавляем постоянную интегрирования:

   $- 2 \log{\left (\cos{\left (\frac{x}{2} \right )} \right )} + \frac{1}{2} \sec^{4}{\left (\frac{x}{2} \right )} - 2 \sec^{2}{\left (\frac{x}{2} \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$- 2 \log{\left (\cos{\left (\frac{x}{2} \right )} \right )} + \frac{1}{2} \sec^{4}{\left (\frac{x}{2} \right )} - 2 \sec^{2}{\left (\frac{x}{2} \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                                                                    
  /                                                                    
 |                                               /          2     \    
 |     5/x\      3      /       2     \        2*\-3 + 4*sin (1/2)/    
 |  tan |-| dx = - - log\1 - sin (1/2)/ + -----------------------------
 |      \2/      2                                 2             4     
 |                                        4 - 8*sin (1/2) + 4*sin (1/2)
/                                                                      
0                                                                      

$$2\,\left(-{{\log \left(1-\sin ^2\left({{1}\over{2}}\right)\right) }\over{2}}-{{3}\over{4\,\sin ^4\left({{1}\over{2}}\right)-8\,\sin ^2 \left({{1}\over{2}}\right)+4}}+{{\sin ^2\left({{1}\over{2}}\right) }\over{\sin ^4\left({{1}\over{2}}\right)-2\,\sin ^2\left({{1}\over{2 }}\right)+1}}+{{3}\over{4}}\right)$$

Численный ответ

0.00725720042108586

Ответ (Неопределённый)

  /                    4/x\                            
 |                  sec |-|                            
 |    5/x\              \2/        2/x\        /   /x\\
 | tan |-| dx = C + ------- - 2*sec |-| - 2*log|cos|-||
 |     \2/             2            \2/        \   \2//
 |                                                     
/                                                      

$$2\,\left({{4\,\sin ^2\left({{x}\over{2}}\right)-3}\over{4\,\sin ^4 \left({{x}\over{2}}\right)-8\,\sin ^2\left({{x}\over{2}}\right)+4}}- {{\log \left(\sin ^2\left({{x}\over{2}}\right)-1\right)}\over{2}} \right)$$