Интеграл 3/(4+6*t) (dx)

Вы ввели

  1           
  /           
 |            
 |     3      
 |  ------- dt
 |  4 + 6*t   
 |            
/             
0             

$$\int_{0}^{1} \frac{3}{6 t + 4}\, dt$$

Подробное решение

1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

   $\int \frac{3}{6 t + 4}\, dt = 3 \int \frac{1}{6 t + 4}\, dt$

   1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

      Метод #1

      1. пусть $u = 6 t + 4$.

         Тогда пусть $du = 6 dt$ и подставим $\frac{du}{6}$:

         $\int \frac{1}{u}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{1}{u}\, du = \frac{1}{6} \int \frac{1}{u}\, du$

            1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

            Таким образом, результат будет: $\frac{1}{6} \log{\left (u \right )}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\frac{1}{6} \log{\left (6 t + 4 \right )}$

      Метод #2

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

         $\frac{1}{6 t + 4} = \frac{1}{6 t + 4}$

      2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{1}{6 t + 4}\, dt = \frac{1}{2} \int \frac{1}{3 t + 2}\, dt$

         1. пусть $u = 3 t + 2$.

            Тогда пусть $du = 3 dt$ и подставим $\frac{du}{3}$:

            $\int \frac{1}{u}\, du$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \frac{1}{u}\, du = \frac{1}{3} \int \frac{1}{u}\, du$

               1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

               Таким образом, результат будет: $\frac{1}{3} \log{\left (u \right )}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\frac{1}{3} \log{\left (3 t + 2 \right )}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{1}{6} \log{\left (3 t + 2 \right )}$

   Таким образом, результат будет: $\frac{1}{2} \log{\left (6 t + 4 \right )}$

2. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{1}{2} \log{\left (6 t + 4 \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{1}{2} \log{\left (6 t + 4 \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                              
  /                              
 |                               
 |     3         log(10)   log(4)
 |  ------- dt = ------- - ------
 |  4 + 6*t         2        2   
 |                               
/                                
0                                

$$3\,\left({{\log 10}\over{6}}-{{\log 4}\over{6}}\right)$$

Численный ответ

0.458145365937078

Ответ (Неопределённый)

  /                             
 |                              
 |    3             log(4 + 6*t)
 | ------- dt = C + ------------
 | 4 + 6*t               2      
 |                              
/                               

$${{\log \left(6\,t+4\right)}\over{2}}$$