Интеграл 3/(x^3-x) (dx)

Вы ввели

  1          
  /          
 |           
 |    3      
 |  ------ dx
 |   3       
 |  x  - x   
 |           
/            
0            

$$\int_{0}^{1} \frac{3}{x^{3} - x}\, dx$$

Подробное решение

1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

   $\int \frac{3}{x^{3} - x}\, dx = 3 \int \frac{1}{x^{3} - x}\, dx$

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{1}{x^{3} - x} = \frac{1}{2 x + 2} + \frac{1}{2 x - 2} - \frac{1}{x}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{1}{2 x + 2}\, dx = \frac{1}{2} \int \frac{1}{x + 1}\, dx$

         1. пусть $u = x + 1$.

            Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

            $\int \frac{1}{u}\, du$

            1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\log{\left (x + 1 \right )}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{1}{2} \log{\left (x + 1 \right )}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{1}{2 x - 2}\, dx = \frac{1}{2} \int \frac{1}{x - 1}\, dx$

         1. пусть $u = x - 1$.

            Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

            $\int \frac{1}{u}\, du$

            1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\log{\left (x - 1 \right )}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{1}{2} \log{\left (x - 1 \right )}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int - \frac{1}{x}\, dx = - \int \frac{1}{x}\, dx$

         1. Интеграл $\frac{1}{x}$ есть $\log{\left (x \right )}$.

         Таким образом, результат будет: $- \log{\left (x \right )}$

      Результат есть: $- \log{\left (x \right )} + \frac{1}{2} \log{\left (x - 1 \right )} + \frac{1}{2} \log{\left (x + 1 \right )}$

   Таким образом, результат будет: $- 3 \log{\left (x \right )} + \frac{3}{2} \log{\left (x - 1 \right )} + \frac{3}{2} \log{\left (x + 1 \right )}$

2. Добавляем постоянную интегрирования:

   $- 3 \log{\left (x \right )} + \frac{3}{2} \log{\left (x - 1 \right )} + \frac{3}{2} \log{\left (x + 1 \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$- 3 \log{\left (x \right )} + \frac{3}{2} \log{\left (x - 1 \right )} + \frac{3}{2} \log{\left (x + 1 \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                
  /                
 |                 
 |    3            
 |  ------ dx = -oo
 |   3             
 |  x  - x         
 |                 
/                  
0                  

$${\it \%a}$$

Численный ответ

-197.368052810459

Ответ (Неопределённый)

  /                                                       
 |                                                        
 |   3                        3*log(1 + x)   3*log(-1 + x)
 | ------ dx = C - 3*log(x) + ------------ + -------------
 |  3                              2               2      
 | x  - x                                                 
 |                                                        
/                                                         

$$3\,\left({{\log \left(x+1\right)}\over{2}}-\log x+{{\log \left(x-1 \right)}\over{2}}\right)$$