Интеграл (3-x)*e^x (dx)

Вы ввели

  1              
  /              
 |               
 |           x   
 |  (3 - x)*E  dx
 |               
/                
0                

$$\int_{0}^{1} e^{x} \left(- x + 3\right)\, dx$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = - x$.

      Тогда пусть $du = - dx$ и подставим $- du$:

      $\int \left(u + 3\right) e^{- u}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(u + 3\right) e^{- u}\, du = - \int \left(u + 3\right) e^{- u}\, du$

         1. пусть $u = - u$.

            Тогда пусть $du = - du$ и подставим $du$:

            $\int u e^{u} - 3 e^{u}\, du$

            1. Интегрируем почленно:

               1. Используем интегрирование по частям:

                  $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

                  пусть $u{\left (u \right )} = u$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (u \right )} = e^{u}$ dx.

                  Затем $\operatorname{du}{\left (u \right )} = 1$ dx.

                  Чтобы найти $v{\left (u \right )}$:

                  1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

                     $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                  Теперь решаем под-интеграл.

               2. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

                  $\int e^{u}\, du = e^{u}$

               1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                  $\int - 3 e^{u}\, du = - 3 \int e^{u}\, du$

                  1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

                     $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                  Таким образом, результат будет: $- 3 e^{u}$

               Результат есть: $u e^{u} - 4 e^{u}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $- u e^{- u} - 4 e^{- u}$

         Таким образом, результат будет: $u e^{- u} + 4 e^{- u}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $- x e^{x} + 4 e^{x}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $e^{x} \left(- x + 3\right) = - x e^{x} + 3 e^{x}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int - x e^{x}\, dx = - \int x e^{x}\, dx$

         1. Используем интегрирование по частям:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            пусть $u{\left (x \right )} = x$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (x \right )} = e^{x}$ dx.

            Затем $\operatorname{du}{\left (x \right )} = 1$ dx.

            Чтобы найти $v{\left (x \right )}$:

            1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

               $\int e^{x}\, dx = e^{x}$

            Теперь решаем под-интеграл.

         2. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

            $\int e^{x}\, dx = e^{x}$

         Таким образом, результат будет: $- x e^{x} + e^{x}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 3 e^{x}\, dx = 3 \int e^{x}\, dx$

         1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

            $\int e^{x}\, dx = e^{x}$

         Таким образом, результат будет: $3 e^{x}$

      Результат есть: $- x e^{x} + 4 e^{x}$

2. Теперь упростить:

   $\left(- x + 4\right) e^{x}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\left(- x + 4\right) e^{x}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\left(- x + 4\right) e^{x}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                         
  /                         
 |                          
 |           x              
 |  (3 - x)*E  dx = -4 + 3*E
 |                          
/                           
0                           

$${{2\,E\,\log E+E}\over{\left(\log E\right)^2}}-{{3\,\log E+1}\over{ \left(\log E\right)^2}}$$

Численный ответ

4.15484548537714

Ответ (Неопределённый)

  /                               
 |                                
 |          x             x      x
 | (3 - x)*E  dx = C + 4*e  - x*e 
 |                                
/                                 

$${{3\,E^{x}}\over{\log E}}-{{\left(\log E\,x-1\right)\,e^{\log E\,x} }\over{\left(\log E\right)^2}}$$