Интеграл (3+x)/(3-x) (dx)

Вы ввели

  1         
  /         
 |          
 |  3 + x   
 |  ----- dx
 |  3 - x   
 |          
/           
0           

$$\int\limits_{0}^{1} \frac{x + 3}{3 - x}\, dx$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = x + 3$.

      Тогда пусть $du = dx$ и подставим $- du$:

      $\int \frac{u}{u - 6}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- \frac{u}{u - 6}\right)\, du = - \int \frac{u}{u - 6}\, du$

         1. Перепишите подынтегральное выражение:

            $\frac{u}{u - 6} = 1 + \frac{6}{u - 6}$

         2. Интегрируем почленно:

            1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

               $\int 1\, du = u$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \frac{6}{u - 6}\, du = 6 \int \frac{1}{u - 6}\, du$

               1. пусть $u = u - 6$.

                  Тогда пусть $du = du$ и подставим $du$:

                  $\int \frac{1}{u}\, du$

                  1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$.

                  Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                  $\log{\left(u - 6 \right)}$

               Таким образом, результат будет: $6 \log{\left(u - 6 \right)}$

            Результат есть: $u + 6 \log{\left(u - 6 \right)}$

         Таким образом, результат будет: $- u - 6 \log{\left(u - 6 \right)}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $- x - 6 \log{\left(x - 3 \right)} - 3$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{x + 3}{3 - x} = -1 - \frac{6}{x - 3}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int \left(-1\right)\, dx = - x$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- \frac{6}{x - 3}\right)\, dx = - 6 \int \frac{1}{x - 3}\, dx$

         1. пусть $u = x - 3$.

            Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

            $\int \frac{1}{u}\, du$

            1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$.

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\log{\left(x - 3 \right)}$

         Таким образом, результат будет: $- 6 \log{\left(x - 3 \right)}$

      Результат есть: $- x - 6 \log{\left(x - 3 \right)}$

   Метод #3

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{x + 3}{3 - x} = \frac{- x - 3}{x - 3}$

   2. пусть $u = x - 3$.

      Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

      $\int \frac{- u - 6}{u}\, du$

      1. пусть $u = - u$.

         Тогда пусть $du = - du$ и подставим $du$:

         $\int \frac{u - 6}{u}\, du$

         1. Перепишите подынтегральное выражение:

            $\frac{u - 6}{u} = 1 - \frac{6}{u}$

         2. Интегрируем почленно:

            1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

               $\int 1\, du = u$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \left(- \frac{6}{u}\right)\, du = - 6 \int \frac{1}{u}\, du$

               1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$.

               Таким образом, результат будет: $- 6 \log{\left(u \right)}$

            Результат есть: $u - 6 \log{\left(u \right)}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $- u - 6 \log{\left(- u \right)}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $- x - 6 \log{\left(3 - x \right)} + 3$

   Метод #4

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{x + 3}{3 - x} = \frac{x}{3 - x} + \frac{3}{3 - x}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

         $\frac{x}{3 - x} = -1 - \frac{3}{x - 3}$

      2. Интегрируем почленно:

         1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

            $\int \left(-1\right)\, dx = - x$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \left(- \frac{3}{x - 3}\right)\, dx = - 3 \int \frac{1}{x - 3}\, dx$

            1. пусть $u = x - 3$.

               Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

               $\int \frac{1}{u}\, du$

               1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$.

               Если сейчас заменить $u$ ещё в:

               $\log{\left(x - 3 \right)}$

            Таким образом, результат будет: $- 3 \log{\left(x - 3 \right)}$

         Результат есть: $- x - 3 \log{\left(x - 3 \right)}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{3}{3 - x}\, dx = 3 \int \frac{1}{3 - x}\, dx$

         1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

            Метод #1

            1. пусть $u = 3 - x$.

               Тогда пусть $du = - dx$ и подставим $- du$:

               $\int \frac{1}{u}\, du$

               1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                  $\int \left(- \frac{1}{u}\right)\, du = - \int \frac{1}{u}\, du$

                  1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$.

                  Таким образом, результат будет: $- \log{\left(u \right)}$

               Если сейчас заменить $u$ ещё в:

               $- \log{\left(3 - x \right)}$

            Метод #2

            1. Перепишите подынтегральное выражение:

               $\frac{1}{3 - x} = - \frac{1}{x - 3}$

            2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \left(- \frac{1}{x - 3}\right)\, dx = - \int \frac{1}{x - 3}\, dx$

               1. пусть $u = x - 3$.

                  Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

                  $\int \frac{1}{u}\, du$

                  1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$.

                  Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                  $\log{\left(x - 3 \right)}$

               Таким образом, результат будет: $- \log{\left(x - 3 \right)}$

            Метод #3

            1. Перепишите подынтегральное выражение:

               $\frac{1}{3 - x} = - \frac{1}{x - 3}$

            2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \left(- \frac{1}{x - 3}\right)\, dx = - \int \frac{1}{x - 3}\, dx$

               1. пусть $u = x - 3$.

                  Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

                  $\int \frac{1}{u}\, du$

                  1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$.

                  Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                  $\log{\left(x - 3 \right)}$

               Таким образом, результат будет: $- \log{\left(x - 3 \right)}$

         Таким образом, результат будет: $- 3 \log{\left(3 - x \right)}$

      Результат есть: $- x - 3 \log{\left(3 - x \right)} - 3 \log{\left(x - 3 \right)}$

2. Добавляем постоянную интегрирования:

   $- x - 6 \log{\left(x - 3 \right)} - 3+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$- x - 6 \log{\left(x - 3 \right)} - 3+ \mathrm{constant}$

Ответ

-1 - 6*log(2) + 6*log(3)

$$- 6 \log{\left(2 \right)} - 1 + 6 \log{\left(3 \right)}$$

=

=

-1 - 6*log(2) + 6*log(3)

$$- 6 \log{\left(2 \right)} - 1 + 6 \log{\left(3 \right)}$$

Численный ответ

1.43279064864899

Ответ (Неопределённый)

  /                                     
 |                                      
 | 3 + x                                
 | ----- dx = -3 + C - x - 6*log(-3 + x)
 | 3 - x                                
 |                                      
/                                       

$$\int \frac{x + 3}{3 - x}\, dx = C - x - 6 \log{\left(x - 3 \right)} - 3$$

График