Интеграл (3*x-5)^4 (dx)

Преподаватель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

d

↑ Введите нижнюю границу интеграла и верхнюю границу интеграла b, подинтегральную функцию f(x) - смотрите пример

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

    Решение

    Вы ввели [src]
      1              
      /              
     |               
     |           4   
     |  (3*x - 5)  dx
     |               
    /                
    0                
    01(3x5)4dx\int_{0}^{1} \left(3 x - 5\right)^{4}\, dx
    Подробное решение
    1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

      Метод #1

      1. пусть u=3x5u = 3 x - 5.

        Тогда пусть du=3dxdu = 3 dx и подставим du3\frac{du}{3}:

        u4du\int u^{4}\, du

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          u4du=13u4du\int u^{4}\, du = \frac{1}{3} \int u^{4}\, du

          1. Интеграл unu^{n} есть un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1}:

            u4du=u55\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}

          Таким образом, результат будет: u515\frac{u^{5}}{15}

        Если сейчас заменить uu ещё в:

        115(3x5)5\frac{1}{15} \left(3 x - 5\right)^{5}

      Метод #2

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

        (3x5)4=81x4540x3+1350x21500x+625\left(3 x - 5\right)^{4} = 81 x^{4} - 540 x^{3} + 1350 x^{2} - 1500 x + 625

      2. Интегрируем почленно:

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          81x4dx=81x4dx\int 81 x^{4}\, dx = 81 \int x^{4}\, dx

          1. Интеграл xnx^{n} есть xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1}:

            x4dx=x55\int x^{4}\, dx = \frac{x^{5}}{5}

          Таким образом, результат будет: 81x55\frac{81 x^{5}}{5}

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          540x3dx=540x3dx\int - 540 x^{3}\, dx = - 540 \int x^{3}\, dx

          1. Интеграл xnx^{n} есть xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1}:

            x3dx=x44\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}

          Таким образом, результат будет: 135x4- 135 x^{4}

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          1350x2dx=1350x2dx\int 1350 x^{2}\, dx = 1350 \int x^{2}\, dx

          1. Интеграл xnx^{n} есть xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1}:

            x2dx=x33\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}

          Таким образом, результат будет: 450x3450 x^{3}

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          1500xdx=1500xdx\int - 1500 x\, dx = - 1500 \int x\, dx

          1. Интеграл xnx^{n} есть xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1}:

            xdx=x22\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}

          Таким образом, результат будет: 750x2- 750 x^{2}

        1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

          625dx=625x\int 625\, dx = 625 x

        Результат есть: 81x55135x4+450x3750x2+625x\frac{81 x^{5}}{5} - 135 x^{4} + 450 x^{3} - 750 x^{2} + 625 x

    2. Теперь упростить:

      115(3x5)5\frac{1}{15} \left(3 x - 5\right)^{5}

    3. Добавляем постоянную интегрирования:

      115(3x5)5+constant\frac{1}{15} \left(3 x - 5\right)^{5}+ \mathrm{constant}


    Ответ:

    115(3x5)5+constant\frac{1}{15} \left(3 x - 5\right)^{5}+ \mathrm{constant}

    График
    02468-8-6-4-2-1010-50000005000000
    Ответ [src]
      1                       
      /                       
     |                        
     |           4            
     |  (3*x - 5)  dx = 1031/5
     |                        
    /                         
    0                         
    10315{{1031}\over{5}}
    Численный ответ [src]
    206.2
    Ответ (Неопределённый) [src]
      /                              
     |                              5
     |          4          (3*x - 5) 
     | (3*x - 5)  dx = C + ----------
     |                         15    
    /                                
    81x55135x4+450x3750x2+625x{{81\,x^5}\over{5}}-135\,x^4+450\,x^3-750\,x^2+625\,x